有理Bézier曲线表示圆和圆柱螺旋线

摘要

作为CAD系统国际工业标准之一的有理Bézier曲线在计算机辅助几何设计(CAGD)，计算机图形学(CG)和几何造型(GM)等应用领域中都具有非常重要的作用。而圆弧曲线在几何外形设计和机器制造中应用非常广泛。本文主要研究了如何用有理Bézier曲线表示圆弧中的圆及圆柱螺旋线。 本文首先对Bézier曲线和有理Bézier曲线的发展、基本概念及性质作了比较简短的概括性介绍。指出多项式的Bézier曲线不能精确的表示圆弧，只能用逼近的形式，给出近似表示，既使造型不便又产生实际误差，而有理Bézier曲线不仅克服了这些不足，可以精确的表示圆弧及整圆，将规则曲线与曲面和自由曲线与曲面统一在一起，使算法统一，数据库统一，而且增强了曲线、曲面设计和表示的灵活性。由于圆柱螺旋线是非有理的，因此有理Bézier曲线可以精确的表示圆，却无法精确的表示圆柱螺旋线。圆柱螺旋线是唯一的一种既保持曲率常量，又保持扭矢常量的空间曲线，可以看作是其中任一小段的无限自我复制。因此只要用有理Bézier曲线逼近描述其中一小段弧线即可，本文提出了一种新的逼近方法，大大减小了误差。 在有理Bézier曲线表示圆的研究中，本文首先介绍了有理二次Bézier曲线只能表示圆心角小于180度的圆弧，有理三次Bézier曲线可以表示圆心角小于240度的圆弧，而有理四次Bézier曲线可以表示任意圆弧，但是不能表示整圆。然后，本文证明了有理五次Bézier曲线可以精确表示整圆，并给出了表示整圆的必要条件。在对这些必要条件进行简化的基础上，求出了Bézier曲线的六个控制顶点和权值的关系。讨论了若参数区间由[0，1]扩展到(-∞，+∞)时其参数的分布情况。在参数的均匀化问题中，本文讨论了如何选取权值使参数间隔和对应的弧长的比值尽可能小，从而使曲线具有理想的参数分布。 在有理Bézier曲线表示圆柱螺旋线的研究中，本文首先介绍了已有的两种逼近方法-端点处斜率相等法和增加重合点法，这两种方法比较简单，较好的解决了圆柱螺旋线的近似表示问题，但是不能同时满足减小误差带宽和端点处斜率相等的要求。本文将这两种方法相结合，提出了一种新的逼近表示方法。这种方法利用有理二次Bézier曲线表示平面内的一条圆弧，然后将这条有理二次Bézier曲线升阶到五次，再将这条有理五次Bézier曲线在空间中匀速拉伸，使其尽可能的逼近空间圆柱螺旋线。经过误差分析，证明了此种方法大大降低了逼近误差。

目录

文摘

英文文摘

原创性声明和关于论文使用授权的说明

第一章绪论

第二章基础知识

第三章有理Bézier曲线表示圆弧及整圆

第四章有理Bézier曲线表示圆柱螺旋线

第五章总结和展望

参考文献

致谢

研究生期间发表论文及参与项目