解析不变曲线与迭代方程的解析解

摘要

动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律.根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统.许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是离散的迭代过程描述的.动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程.漫长的历史沉淀使迭代函数方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要作用.迭代函数方程伴随着迭代理论的发展，从巴贝奇、阿贝尔等数学家开始至今，已经形成了一个理论体系.本文在绪论中介绍了函数迭代的特性及其在现实生活中的应用、迭代与动力系统的概念、离散动力系统与连续动力系统的概念、迭代函数方程的基本形式、迭代根问题、不变曲线问题及Davie引理，并且简要介绍了近几年在迭代函数方程方面的研究成果. 迭代函数方程作为现实世界中抽象出来的一种十分重要的模型，具有广泛的现实意义和应用背景，一直受到数学家们的广泛关注.在实验中常常通过对初始状态到当前状态的记录，来分析系统运动的规律.迭代函数方程是函数复合与迭代的产物，和微分方程一样都是函数方程的特殊类型.准确地讲，迭代函数方程就是由未知函数和复合运算构成的恒等式.关于平面映射的不变曲线可化为等价的迭代函数方程解决.它在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色，研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义.本文的第二章讨论了三类平面映射的解析不变曲线，用优级数方法讨论了不变曲线迭代函数方程解析解的存在性.以前在这方面的工作要求未知函数在其不动点处的线性化特征值不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.我们突破了Diophantine条件的限制，在α在单位圆周上但不满足Diophantine条件的情形，用比Diophantine条件更弱的条件——Brjuno条件给出了解析解结果. 迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象.迭代泛函微分方程与常微分方程有很大的不同.这种方程的时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态甚至状态的导数.进入80年代以来，人们越来越多的发现了这种方程的多方面的应用.例如，在物理学、控制论、博弈论和生物学等一系列问题中都提出这种类型的方程，显示出了它们在应用上和理论上的重要性，从而也激发起了人们对它们的强烈的研究兴趣.由于未知函数迭代的出现.常微分方程中经典的存在性定理不能使用.本文的第三章利用Schr(o)der变换把迭代方程化为不含未知函数迭代的非线性迭代微分方程，再利用优级数方法得到解析解的存在性.

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第一章绪论

§1.1迭代

§1.2迭代与动力系统

§1.3迭代函数方程

§1.4解析不变曲线

第二章关于不变曲线迭代函数方程的解析解的存在性

§2.1ψ(z+ψ(z))=ρ(ψ(z))，z∈C的解析解的存在性

§2.2 x(p(z)+bx(z))=h(x(z))，z∈C的解析解的存在性

§2.3 x(p(z)+bx(z))=g(z)+h(x(z))，z∈C在Brjuno条件下解析解的存在性

第三章一类一阶迭代泛函微分方程的解析解

§3.1引言

§3.2辅助方程的解析解

§3.3方程(3.1)的解析解

参考文献

致谢

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