小除数理论与迭代泛函方程的解析解

摘要

动力系统是研究事件怎样随时间变化而改变的规律的，特别是在天文、物理、生物学等领域的研究中，经常用到与之相关的数学模型。通过研究这些模型，我们可以找到现在发生的事情与将要发生的事情之间的关系，由这种关系，我们便能够推测在未来的时间里会发生什么。根据系统变化的规律可分为连续动力系统和离散动力系统。其中，迭代扮演着重要的角色，有着举足轻重的作用。
　　 在动力系统中许多稳定性问题都要面对小除数带来的困难，最著名的例子便是上个世纪，由Kolmogorov，Arnold，Moser创立的KAM理论，该理论主要考虑拟可积哈密顿系统拟周期解的保持性问题。对于一维解析小除数问题的研究已有许多结果，值得一提的是意大利数学家S.Marmi和法国数学家J.C.Yoccoz[98，99，186]，他们的相关成果推动了这一领域的研究。其中最佳算数性条件，到目前为止，在局部范围上的讨论所使用的还是40年前由Brjuno引入的条件(以下简称Brjuno条件)；在全局范围里，则主要是由J.C.Yoccoz引入的限制性条件，但其给出的限制性条件较多，所以如何减少这些限制性条件仍是一个问题。事实上，一维小除数问题在局部可看成是映射的共轭问题，即f(h(z))=h(g(z))，此处g(z)=qz，进一步又可归结为f的线性化问题。而为此，使用实数的连分数展开的相关理论成为研究这个问题的重要工具之一，故在文中，我们将简要介绍连分数的有关概念。
　　 本论文主要研究了几类方程局部解析解的存在性问题，讨论了四类方程解析解的存在性和解的显示结构。作者利用Schroder变换，幂级数理论研究了这几类方程的局部解析解。在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆上或在单位圆上但满足Brjuno条件。当特征值处于单位圆周上时，由于形式解的优级数中出现1/1-qn(小除数问题)，给我们判断形式解的收敛性造成了困难。这时，我们利用Brjuno条件克服了这个困难。此外，我们还在所谓共振情况下考虑了解析解的存在性问题。综上所述，我们在如下条件下考虑了几类方程的局部解析解，其中q为解在不动点处的特征值：
　　 全文的结构安排如下：
　　 在第一章中，我们主要介绍小除数理论、迭代函数方程、迭代泛函微分方程和q-差分方程的主要概念，近几年在该方面的研究成果及必要的理论基础。
　　 第二章讨论了一类关于变系数多项式型迭代函数方程的解析解。关于这类方程的研究已有很多结果([34，84，134，156，193，197])，本文进一步改进和推广了现有结果。实际上我们在复域上考虑了一类更一般的变系数多项式型迭代函数方程：的局部可逆解析解问题.显然，当令vi(z)，i=1，...，n分别为0，z，f(z)时便可得到上述文献中所提及的多项式型迭代方程.我们利用幂级数理论和小除数理论考虑了该方程解的特征值在不同位置时局部解析解的存在性问题，特别是我们还考虑了利用Abel变换得到与Schroder变换类似的结论。
　　 在第三、四两章中，我们分别考虑了如下两类泛函微分方程的局部解析解问题：分别推广了司建国和作者本人以前的工作及他人的一些结果。第一个方程是一类在数论中有重要作用的方程的推广，它与著名的Golomb序列有密切的联系([54，58，100，103]，[123]-[126])。这里，我们通过类似作者先前的工作对该方程进行了讨论。对于第二个方程，由于内层函数具有二阶导数，我们首先通过变量代换、积分变换等技巧将其转化为一个迭代方程。进一步，利用我们前面的方法，讨论这个迭代微分方程的解析解问题。最后，我们举例说明可用这种方法来求得原方程的解析解，并能具体表达出该解析解的显示形式。
　　 q-差分方程解析解的研究由来已久，本文在第五章首先回忆q-差分方程的一些结果，进而在原点附近考虑了一类q-差分方程：的解析解问题。针对已知函数Ct，j(z)，G(z)是有极点的情况，我们首先将其转化为一个不含极点的q-差分方程，进而对q在不同的位置进行讨论。由于q的位置与其对应的θ值有关，而θ的值又和其连分数有密切的联系，所以我们在考虑形式解是否收敛时，只要对θ的连分数进行讨论即可。在本章我们不仅考虑了形式解是收敛的情况，通过选取一组特殊的{pn/qn}(θ的连分数)，我们也构造出所求方程的发散形式解，这主要改进了张伟年和徐冰的结果。