离散时间Markov链的遍历论

摘要

Markov链的遍历论是研究Markov链的渐进性态的理论。Markov链在概率论、随机微分方程、排队论、统计物理、Monte Carlo数值计算和迭代函数系统的研究中有重要应用.不变测度的存在性、遍历性和渐进稳定性是遍历论研究的主要课题. 本文研究了离散时间Markov链的遍历论中的几个重要问题.主要方法是由Markov链的转移概率测度导出测度空间或函数空间上的Markov算子，通过研究算子的渐进性质，得到Markov链的遍历性质.本文共分为四个章节. 第一章研究局部紧可分度量空间上的Markov算子的遍历分解定理。遍历分解定理说明了基本遍历测度是不变概率测度空间中的”基本元素”，不变概率测度可以表示成基本遍历测度的积分形式.因此，遍历分解的研究有助于刻画不变概率测度的存在性和唯一性.Yosida给出了紧空间上具有不变概率测度的Markov算子的遍历分解定理。Radu Zaharopol[11]研究了局部紧空间中的具有不变概率测度的Markov-Feller算子的遍历分解定理，并给出了其遍历测度的支集刻画公式.本文第一章研究了具有σ-有限不变测度的Markov算子的遍历分解定理，并且将σ-有限不变测度表示成基本遍历测度的积分形式，而且还讨论了当Markov算子具有严格可限制性时，遍历分解中的基本遍历测度的个数是有限的。本章的主要证明方法是先应用Birkhoff平均遍历定理找到与σ-有限不变测度等价的不变概率测度，然后利用Yosida遍历分解定理，寻找基本遍历测度. 不可约性和遍历性是刻画Markov链渐进性态的重要概念.在可数状态空间中，通过状态空间中各个状态的通达性来定义不可约性.在不可数状态空间中，不可约则是通过Markov链到达任一开集的性质来刻画的，遍历性是指不变集为零测集或全集.遍历性比不可约性要强.在有限状态空间中，D.Revuz证明了Markov链遍历的充要条件是此链是不可约且非周期的。本文第二章讨论了不可数状态空间上的Markov链的不可约性与遍历性的关系，给出保守的Markov算子的不可约性与遍历性等价的条件，即不变测度的支集为全空间. 唯一遍历性是指Markov链只有一个不变概率测度，它刻画了Markov链的稳定分布的唯一性.唯一遍历性要比渐进稳定性弱，比不变测度的存在性要强.因此，刻画唯一遍历性具有重要的意义.P.Walters给出了紧空间中连续变换唯一遍历的等价条件.Radu Zaharopol研究了局部紧可分度量空间中Markov-Feller算子唯一遍历的充要条件是存在控制生成点，本文第三章研究了局部紧可分度量空间中Markov算子的唯一遍历性，给出三个与唯一遍历性等价的平均遍历定理和一致遍历定理。本章结果是将P.Walters中紧空间上连续变换的唯一遍历性等价定理推广到了局部紧空间中. 不变测度的存在性和渐进稳定性是遍历论中研究的重要问题.Lasota-Yorke用转移概率测度的渐进性给出了局部紧可分度量空间中Markov-Feller算子不变测度的存在性和渐进稳定性的充分条件.S.Meyn，R.Tweedie[8]用Foster-Lyapunov条件证明了局部紧空间上Markov算子不变测度的存在性，此条件只用到一步转移概率，比较容易验证.T.Szarek研究了波兰空间中Markov算子存在不变测度和渐进稳定性的问题.他给出了各种类型的渐进性条件来确保不变测度的存在性和唯一性，本文第四章给出了波兰空间中Markov-Feller算子存在不变概率测度的一个比较容易验证的充分条件.此条件是说，如果Markov算子在一点等度连续，那么就存在不变测度，而且其证明给出了不变测度的寻找方法.此条件是T.Szarek中不变测度存在性条件的推广和修正，比其它刻画不变测度存在性的渐进性条件更容易验证.

目录

文摘

英文文摘

声明

前言

第一章无穷维遍历分解定理

1.1基本概念

1.2遍历分解定理

1.3可限可限制的Markov算子

第二章不可数状态空间Markov算子不可约性与遍历性的关系

2.1保守Markov算子的性质

2.2遍历性与不可约性的关系

第三章局部紧空间中的唯一遍历性定理

3.1两个重要引理

3.2唯一遍历定理

第四章Markov-Feller算子不变测度的存在性

4.1基本概念

4.2不变测度存在的充分及充要条件总结

4.3主要结果

本文总结

附录Yosida遍历分解定理

参考文献

致谢