分数阶微分方程的数值解法及其MATLAB实现

摘要

近年来,分数阶微分方程在科学研究和工程计算中到了广泛的应用.找到分数阶微分方程的解是十分必要的,尽管有些方程的解析解可以求出来,但人们注意到,很多分数阶微分方程的解析解是由比较特殊的函数来表示,并且大部分分数阶微分方程是不可能求出其解析解的,于是人们越来越关注分数阶微分方程的数值方法.本文主要研究了一类论文主要研究了一类分数阶线性常系数多项微分方程()的数值解法,并用数学软件Matlab实现了其数值解.全文组织结构如下:
　　 在第一章中,简要阐述分数阶微积分及分数阶微分方程的历史及研究现状,介绍了几种常见的分数阶导数的定义及性质,建立了本文所讨论的分数阶微分方程的模型,最后概括了本文的主要工作.
　　 在第二章中,利用Caputo分数阶导数的性质,利用引理()基于Adomian分解法,构造了算法,得到了上述分数阶线性常系数多项常微分方程的数值解,以Bagley-Torvik方程为例,验证了解法的有效性.
　　 在第三章中,将解决整数阶常微分方程的降阶法推广到分数阶线性多项常微分方程,将分数阶线性常系数多项常微分方程转化为一个分数阶常微分方程组的形式:()
　　 借助于K.Diethlem提出的一个分数阶导数的近似()得到了一种新的上述分数阶线性多项常微分方程的数值解法,改进了已有的算法,以Bagley-Torvik方程为例,验证了解法的有效性.
　　 在第四章中,将Adomian分解法应用于分数阶常微分方程组()利用定理将其转化为一个与之等价的Volterra积分问题()对上式应用Adomian分解法,构造了一种新的基于降阶法的Adomian分解法,最后也是以Bagley-Torvik方程为例,验证了解法的有效性.
　　 最后,提出了今后进一步研究的方向.

目录

文摘

英文文摘

第一章 引言

§1.1 历史和研究现状

§1.2 预备知识

§1.3 分数阶微分方程模型的建立

§1.4 本文的主要工作

第二章 Adomain分解法

§2.1 Adomian分解法

§2.2 数值方法

§2.3 数值算例

第三章 降阶法

§3.1 降阶法及数值公式

§3.2 数值算例

第四章 基于降阶的Adomian分解法

§4.1 基于降阶的Adomian分解法

§4.2 数值算例

第五章 结论

参考文献

致谢

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