四元数体在四维空间中凸正多单形体中的应用

摘要

在欧氏几何学中，有着一种极为规则的图形，称为正多单形体，它们在在不同的维度下有着不同的名称：在平面上，它们被称为正多边形，而在三维空间中，它们被称为正多面体。它们在数学、自然科学、艺术散发着无尽的魅力，吸引着人们去探索。在漫漫历史的长河中，数学家们不懈的努力也使得这一领域硕果累累。
　　 1795年，德国数学家C．F．Gauss是出了有名的正十七边形的几何作图法，但正n边形作图可能的充分必要条件是边数可以因子分解为n=2mp1…pk（m≥0）的形式，而每个Pi是相异的形如22ι+1的Fermat素数。
　　 古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体作过专门研究。在群论中，每种正多面体都对应着SO3中的旋转群的有限子群，称为正多面体群。
　　 1752年，瑞士数学家L．Euler发现了三维空间中任意简单多面体的顶点数V、棱数E、和面数F满足关系式V-E+F=2，这就是著名的欧拉多面体公式。
　　 1883年，法国数学家J.H.Poincare证明，Euler公式可以推广到更高维，其中K是n维有限单纯复形；αr为r维胞腔数。在本质上，它们是GaussBonnet公式的一种表达形式。
　　 在更高维数下，瑞士几何学家路德维希·施莱夫利证明了在4维空间中，有六种凸正多单形体，分别是正五胞腔体、正八胞腔体、正十六胞腔体、正二十四胞腔体和正一百二十胞腔体。而当维数n≥5时，则只有三种，它们的边界数分别为n+1，2n，2n。
　　 1948年，英国几何学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特在他的《Regular Polytope》[1]一书中，详细讲述了四维空间里的六种正多单形体（前面已列举的正五胞腔体、正八胞腔体、正十六胞腔体、正二十四胞腔体、正一百二十胞腔体和正六百胞腔体）的性质，并给出了正多单形体的顶点的局部坐标。他对于坐标的计算方法是基于代数方程及三角函数的性质。而事实上，利用四元数体工具则可以更简洁的解决这些问题。
　　 四元数体是一种拓展复数，最早由爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿于1843年提出，当时，四元数体成为一种研究几何学和物理学的重要工具，被用来描述几何运动和电磁学的麦克斯韦方程组。
　　 在以前对四元数体的应用中，四元数体仅仅表示出了三维空间中的旋转变换，而没有揭示出它作为四维空间中旋转变换的一种特倒的本质。本文通过汁算二维子平面方向张量，及张量反射变换公式，导出四维空间中用四元数体表示旋转变换的完整公式，并揭示了四元数体表示旋转变换的赤道平面与旋转乘子的关系。
　　 本文共解决以下三个问题：
　　 1．用四元数体表示四维空间中的反射及旋转变换。
　　 2.用四元数体计算四维空间中最复杂的两种正多单形体的顶点坐标。
　　 3.判断四维空间中正一百二十胞腔体的顶点是否有作为正五胞腔体顶点的子集。
　　 下面是本文对于第一个问题给出的结果：
　　 设qυ是一个四维向量对应的四元数体，ρ是一个二维子空间，σ是以ρ为赤道面旋转角为θ的旋转变换，设R是ρ的一个方向张量矩阵，rij是它的第i行第j列元素，满足令则对作旋转变换σ以后对应的四元数体qσ（υ）的值为：相比以前用的四元数体表示三维空间的旋转变换，这个结果可以更直接求出旋转变换的旋转角、轴平面及赤道平面。
　　 正一百二十胞腔体和正六百胞腔体是四维空间中最复杂的两种凸正多单形体。它们的顶点位置关系极其复杂。本文发挥了四元数体作为一种工具，计算出它们顶点的局部坐标，与前面计算坐标的方法相比，减少了计算量和数据存储负担，得剑下面结果：
　　 点集（±4，0，0，0）、（±1，±1，±1，±1）及其坐标分量的偶排列构成凸正多单形体{3，3，5}的120个顶点。
　　 点集及其坐标分量的偶排列构成凸正多单形体{5，3，3}的600个顶点。这是问题2的结果，具体的计算过程在正文中有详述。
　　 这个结果与考克斯特的结果一致，不同的地方就是这里把所有的分数化成了整数，有利于发现更多的性质。
　　 四维空间中的六种正多单形体之间有着嵌入关系。其中正五胞腔体嵌入正一百二十胞腔体足最难以发现的。这个结论可以用枚举法证明，然而由于正一百二十胞腔体的顶点数多达600个，只能程序逐个计算。但本文通过坐标内部的联系及正交变换的证明了一个更强的结论，并直观地揭示了这些顶点的相对位置关系：
　　 设RP是一个正一百二十胞腔体，V是P的一个顶点，则可以在P的顶点中找出28个顶点，等分成七组，使得每组的四个顶点与V构成正五胞腔体的五个顶点，且从不同组里选出的点构不成正五胞腔体的顶点。这个结果不仅给了问题3肯定的回答，而且给出了具体的数量。
　　 本文的结构如下：第一章阐述基本概念，问提的由来：第二章则是先介绍几何学和四元数体的基本知识，然后解决第一个问题。第三章则利用第一个问题的结果解决第二个问题，并利用第二个问题的结果分析并解决第三个问题。
　　 本文最后给出利用第一个问题的结果给出四元数计算四维空间中的几何图形在运动中的坐标的方法，利用这种变换，可以大大减少动画过程中的计算量，使得动画对硬件配置的要求大大降低，从而完成更加流畅、清晰的动画。
　　 另外，笔者对于几何学里几个命题有着新的见解，这几个命题的证明方法放在附录中。