非线性数学期望的性质及其在金融风险中的应用

摘要

众所周知，古典概率极限定理在概率论的发展和应用领域发挥了至关重要的作用。但是，这类极限定理只能考虑可加概率或可加期望。实际上，很多不确定的现象不能被可加概率或可加期望所解释，这就使得概率或期望的可加性在很多领域已经被丢弃。为了进一步研究数理经济学、统计学和量子力学的一些问题，许多文章通过容度和非线性期望（例如，Choquet期望，g期望）来描述和解释这些不具有可加性的现象．近来，为了更好地研究风险测度、上一下对冲价格和金融模型的不确定性，Peng[66;68;69;70;71;73;74]给出了次线性期望下随机变量独立同分布的概念。而且，他得到了次线性期望下的大数定律和中心极限定理，从而把经典的结果从线性情形推广到非线性情形．
　　 在本篇论文中，首次得到了在次线性期望下的一些极限结果．例如，由次线性期望诱导产生的容度的中心极限定理，由次线性期望诱导产生的容度的重对数率，由次线性期望诱导产生的容度的Cramer上界和满足较弱条件的次线性期望下的三个大数定律。
　　 在Peng[66;69;70;73;74]中，一类最重要的次线性期望空间为G期望空间．作为在线性情况下Winener空间的对照，在Peng f66;69;70;73;74]中，G-Brownian运动，G-鞅，关于G-Brownian运动的Ito积分等概念也被介绍．这些概念具有非常丰富和有趣的新的结构而且不平凡地推广了经典结果，自从这些概念被提出以后，关于G-Brownian运动的许多性质已经被研究，可见，Denis，Hu和Peng[24]，Gao[33]，Gao和Jiang[34],Soner,Touzi和Zhang[80],Song[81],Xu和Zhang[87]。
　　 在经典情形下，Brownian运动(Wiener过程)的极限理论在概率论的发展和应用领域发挥了非常重要的作用．人们已经得到了Wiener过程轨道的大量性质，例如，1964年，Strassen[83]研究了Brownian运动的重对数率。1970年，Erdos和Renyi[30]研究了Browluan运动的大数定律．1979年，Csorgo和R,evesz f19]研究了下述问题。Brownian运动的增量有多大，这个结果推广了Erd6s和R,enyi的大数定律和Strassen的重对数率。后来，关于Brownian运动的增量的许多性质被研究得到，可见，Hanson和Russo[35]，Ortega和Wschebor[53]等。
　　 在本篇论文中，首次得到关于G-Brownian运动的一些极限结果．例如，G-Brownian运动的连续模定理和G-Brownian运动的增量有多大问题。以下是本文的结构和主要结论。
　　 第一章：给出了g期望的一个扩张即把它的定义域扩张到￡（Q，FT，P）空间中，称其为扩张的彭的g期望并研究了其相关性质，进而，研究了Lp(1　　 第二章：证明了超前倒向随机微分方程生成元g关于y满足单调和一般增长条件，关于z满足Lipsclutz条件的解的存在唯—性定理并且给出了关于l维超前倒向随机微分方程的几个比较定理。
　　 第三章：首次得到了在次线性期望下的一些极限结果。例如，由次线性期望诱导产生的容度的中心极限定理，由次线性期望诱导产生的容度的重对数率，由次线性期望诱导产生的容度的Cramer上界和满足较弱条件的次线性期望下的三个大数定律。
　　 第四章：首次得到关于G-Brownian运动的一些极限结果．例如，G-Brownian运动的连续模定理和G-Brownian运动的增量有多大问题。