关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究

摘要

正规族理论是复分析理论中的一个重要分支，其研究既具有重要的理论意义，也具有重要的应用价值.例如与值分布理论的紧密结合，又例如正规定则在复动力系统中的应用：近年来比较活跃的复动力系统研究中的基本概念Julia集和Fatou集等，就是由正规性引出的.自20世纪初叶P.Montel引入正规性的概念以来，正规族理论已有了长足的发展，特别是我在国，熊庆来、庄祈泰、杨乐、顾永兴以及方明亮和庞学诚等人都作出了优秀的工作，从而使我国在正规族理论研究方面处于国际前沿地位.关于正规族理论的基本概念和重要结果，以及研究正规族理论所需要的一些预备知识如Nevanlinna值分布论等，我们将在第一章中予以详细介绍.
　　 正规族理论发展中一个关键的阶段，是20世纪五十年代到八十年代，其间学者们以W.K.Hayman提出的几个猜想为主线，获得了一系列新的正规定则.本文的主要问题，正是追溯自该阶段Hayamn[17]提出的一个值分布论方面的猜想：如果F是一个超越亚纯函数，则对于任意的正整数n，F'n F'取每个非零有穷值均是无数次.围绕这一猜想，Hayman[17]，E.Mues[35]，J.Clunie[8]以及W.Bergweiler和A.Eremenko[3]，陈怀惠和方明亮[4]等人相继做出了优秀的工作，并最终将猜想完全解决.
　　 根据Bloch原理[2]，对应上述值分布论方面的问题，Hayman[19]又提出了一个关于Picard型正规定则的猜想：令()是定义在区域D()C上的函数族，n是一个正整数.如果任一函数f∈()，均满足fn f'≠α，则()必在区域D上正规.当n≥5的时候，这一猜想被杨乐和张广厚[59]证实；而顾永兴[14]和Oshkin[36]则分别论证了当n=3，4，以及当n=1且()为全纯函数族时的情况(也可参见[28])；此后，庞学诚[38]又证明了当n≥2时猜想成立.最后，当n=1时的情况，在1995年，也被Bergweiler和Eremenko[3]，陈怀惠，方明亮以及Zaleman等人完全解决了(可参阅[4]，[64]，[65]).
　　 近年来，张庆彩[67]又从分担值的思想出发研究上述问题，论证得到一个正规定则：如果亚纯函数族()中的任意两个函数(f，g)均满足fnf'和gng'(其中正整数n≥2)以IM分担一个非零有穷复数α，则()必是区域D上的正规族.综合以上Hayman的两个猜想和张庆彩的结果，不难看出一条从值分布论到Picard型正规定则再到分担值型正规定则的清晰线路，启发我们综合运用值分布论和正规族理论去讨论问题.更进一步地，对于高阶导数形式FnF(k)的值分布和正规性方面的性质，张庆彩和戚建明等人已经做过详细的研讨，详情可参考文献[68]和[43].
　　 为了更好得把握FnF(k)这一形式各类问题的研究，不少学者也讨论了其相关形式F(F(k))n在值分布论和正规族理论方面的情况.1993年，杨重骏，杨乐，王跃飞[55]在科学通报上发表文章，论述了如下结果：当n≥2时，对于任一个超越整函数F，F(F(k))n唯一的皮卡例外值都只可能是0.张宗方和宋国栋等[69]进一步讨论，在1998年论证得到：对于超越亚纯函数F，当n≥2且α(){0，∞)时，必有F(F(k))n-α存在无穷多个零点.后来，在2004年，A.Alotaibi[1]又得到了上述结果的一个简化证明方法，同时也有所改进，即把原来的常数α推广到了小函数α(z)的情况.
　　 在本文第二章中，受到Bloch原理的启发，并基于上述杨重骏、杨乐、王跃飞、张宗方和宋国栋，以及Alotaibi等在值分布方面的结果，我们讨论F(F(k)n这一形式函数的零点分布和正规性问题，主要得到了一个分担值型的新正规定则：
　　 (1)令n，k是两个正整数，其中n，k≥2，又令α是一个非零有穷复数.亚纯函数族()定义在区域D()C上，且任一函数f∈()，其所有零点的重数都不低于k.如果函数族()中任意两个函数(f，g)均满足f(f(k))n和g(g(k)n以IM分担α，则必有()在区域D上是正规的.
　　 为了说明这个正规定则的严谨，我们还给出了几个反例.例如，令D={z∈C||z|<1}，则函数族的例子说明定则中零点重数至少是k的条件是严格的，因为若放低到k-1结论就不再成立了.而则说明当k=1时定则不再成立，故k≥2的条件是必不可少的.
　　 同时，作为以上结果的推论，还得到了两个新的正规定则：
　　 (2)先取定正整数n和k，其中n≥2，再取定一个非零有穷的复数α.令()是一个定义在区域D上的亚纯函数族，且族中任意函数f所有零点的重数都不低于k.对于任意的f∈()，若由f(z)(f(k)(z))n=α必可导出|f(k)(z)|≤A，其中A是一个正数，则()在区域D上必是正规的.
　　 (3)取定正整数n和k，其中n≥2，然后再取定一个非零有穷的复数α.令()是一个定义在区域D上的亚纯函数族，且任意函数f∈()其所有零点的重数都不低于k.若函数族()中任一函数f，对于所有的点z∈D，均满足f(z)(f(k)(z))n≠α，则()在区域D上是正规族.
　　 我们注意到，上述的各个定理中，均要求n≥2，所以自然想到一个问题：当n=1，即化为形式FF(k)时，定理的结论是否依然成立?关于这一形式的值分布问题，杨乐和杨重骏[58]提出了一个猜想：F是一个超越亚纯函数，k是任意正整数，则FF(k)取每个非零有穷复数均是无穷多次.1996年，杨重骏和扈培础教授得到了一个阶段性的成果，部分解决了该猜想提出的问题，详情可见文献[54].后来在2006年，王建平[49]基本上解决了该问题，他论证了：当k≥2时，如果F的所有零点的重数都不低于k+1，则猜想的结论成立.由Bloch原理，很自然想到，上述关于FF(k)形式值分布的结论，是否有对应的正规定则存在?实际上，方明亮在09年上海复分析会议上就提出了一个Picard型正规定则的猜想：α是一个非零有穷复数而()是一个定义在区域D()C上的亚纯函数族.如果()中的任意函数.厂在区域D上都满足ff(k)≠α，则()在D内是正规的.
　　 在本文第三章中，我们重点讨论分扭一个值的亚纯或全纯函数正规件问题，主要是考察FF(k)这一形式函数的正规性，得到了两个与分担值有关的正规定则.
　　 先是亚纯函数的情况，要求零点重数不低于k+1：
　　 (4)取定一个正整数k和一个非零有穷复数α.令()是一个定义在区域D()C上的亚纯函数族，且任一函数f∈()其所有零点的重数均不低于k+1.对于函数族()中任意两个函数(f，g)，若ff(k)和gg(k)分担αIM，则()是区域D上的正规族.
　　 再者对于全纯函数族的情况，零点重数可以放低到k：
　　 (5)取定一个正整数k≥2和一个非零有穷复数α.令()是一个定义在区域D上的全纯函数族，且任一函数f∈()其所有零点的重数均不低于k.对于任意两个函数(f，g)∈()，若都有ff(k)和gg(k)分担α IM，则()在区域D上正规.
　　 显然，附加上零点重数不低于k+1的条件，第三章这些关于亚纯函数的正规定则，不但解决了第二章中遗留尚未解决的当n=1时的情况(也可参见[21])，同时还在一定程度上解决了方明亮的猜想所蕴含的问题.
　　 最后，在本文第四章中，我们讨论了分担三个值0，1，∞的微分多项式的唯一性问题，主要推广了I.Lahiri[23]，张庆彩[66]等人的结果，得到如下定理：
　　 (6)令f，g是两个非常值的亚纯函数，而微分多项式Ψn(f)，Ψn(g)也非常值函数.如果Ψn(f)和Ψn(g)分担0 IM，∞IM，以及1 cM，并且还满足：则以下两种情况必居其一：要么(a)Ψn(f)Ψn(g)≡1，要么(b)f-g=q，其中q=g(z)是微分方程Ψn(q)=0的一个解函数.而且，如果f有至少一个极点或者Ψn(f)有至少一个零点存在，则第一种情况(a)就不可能出现，可予以排除了.