群连通的度条件

摘要

本文中G=G(V,E)表示一个图，V(G)和E(G)分别表示图G中的顶点集和边集.我们用|V(G)|表示图G的顶点数，当|V(G)|为有限值的时候，我们称图G为有限图.本文中的图为连通有限无向图并且可能含有重边.
　　 令D=D(G)表示无向图G的一个定向.如果一条边e∈E(G)的方向是从顶点u到顶点v则我们称tail(e)=u，head(e)=v.进一步的，对于V(G)中任意顶点v我们定义:
　　 E+D={e∈E(D):V=tail(e)},E(D)={e∈E(D):v=head(e)｝.
　　 A为非平凡阿贝尔群（加法）0为A中的单位元，A*表示A中所有非零元组成的集合.F(G，A)表示所有由E(G)到A的函数组成的集合，并且F*(G)表示所有由E(G)到A*的函数组成的集合.给定一个函数f∈F(F，A)，令:V(G)→A:
　　 (a)f（v）=∑e∈E+D(v)f(e)-∑e∈E-D(v)f(e)，
　　 这里的∑是阿贝尔群A中的加法.函数b:V(G)→ A是一个图G上的A-值零和函数如果它在图G上满足性质∑v∈V(G)b（v）=0.图G上的所有A-值零和函数组成的集合记为Z(G，A).
　　 一个图G是A-连通的，如果G有一个定向是对于每个函数b:=V(G)→A满足条件∑v∈V(G)b(v)=0，存在一个函数f:E(G)→A*是的每个顶点v∈V(G)的出流等于b(v）.如果图G是A-连通的，则记为G∈〈A〉.
　　 定义图G的群连通数∧g(G)=min{n:对于每个满足|A|≥n的阿贝尔群，图G是A-连通的｝.
　　 F.Jaeger，N.Linial，C.Payan.证明了，图G∈〈A〉的性质是独立于图G的定向的，所以本文中只讨论无向图.J.Chen，E.Eschen，H.J.Lai.证明了如果图G是两边连通的，则∧g(G)是一个存在的有限数并研究了一些特定图族的群连通数并决定了相关的最优上界.Xiangjuan Yao，X.Li，H.Lai.研究了两边连通图在顶点数不小于13的时候的群连通的度条件.本文在他们的研究和图族的操作理论(P.A.Catlin，A.M.Hobbs，H.J.Lai)的基础上对连通图群连通的顶点数和度条件进行了改进，研究了顶点数不小于31的两边连通图的群连通的度条件，并证明了以下结论.
　　 定理2.1.1 A为满足|A|≥4的阿贝尔群，图G为简单2-边连通图，并且满足n=|V(G)|≥31.如果对于任意u，v∈V(G)且uv(∈) E(G)都有max{d(u)，d(v)｝≥n/6，则图G为A-连通图，或者G*∈图集P.其中图集P={Gi(16≥i≥1)，K2，6，K2，5，K2,4，K2，3，C4，C5，C6,C7}
　　 在第三章中，本文还给出了一些可以进一步研究的问题.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 引言

§1．1 基本概念

§1．2 问题的背景和进展

§1．3 关于群连通度条件的一些结果

§1．4 已有结论及本文的主要结果

第二章 群连通的度条件

§2．1 预备知识及引理

§2．2 主要结论的证明

第三章 可进一步讨论的问题

参考文献

致谢