关于复动力系统中类多项式映射的研究

摘要

复动力系统理论的研究最初始于用Newton法求复多项式方程的根的研究，基础性的工作是Julia和Fatou等人在正规族理论的基础上建立起来的.之后在Ahlfors和Bers等人建立起拟共形映射和Teichmuller空间理论这些工具之后，复动力系统开始进入新的发展阶段.在这期间很多关键性的问题被解决，最重要的工作是Yoccoz做出的，他因此于1994获得菲尔兹奖.同时计算机技术的广泛应用，有效的促进了关于Julia集和Mandelbrote集的分形性质的研究和复动力系统的发展.
　　 在1985年A.Douady与J.Hubbard[1]发表了名为“OntheDynamicsofPolynomial-likeMappings”的论文，首次提出了类多项式映射的概念，并且证明了类多项式映射的直化定理，即在类多项式映射的填充Julia集的某一邻域内其可以混合(hybrid)共轭与一个多项式.换句话说就是存在一个拟共形同胚映射，在该映射的共轭变换下类多项式映射变为一个多项式，并且该拟共形同胚映射的Beltrami微分形式在该类多项式的填充Julia集上恒等于零.如果填充Julia集是连通的，则该多项式在至多相差一个仿射的条件下是唯一的.该定理现在已经成为有理函数以及亚纯函数动力系统研究中的一个非常重要的定理.之所以被称为直化定理主要是由于在本定理的证明过程中，我们将在Riemann球面(C)上所构造的一个共形结构通过一个拟共形映射拉回为(C)上的标准共形结构.在A.Douady与J.Hubbard的工作之后，这方面的进展一直比较缓慢.主要工作有T-C.Dinh和N.Sibony[7]在2008年发表的文章，他们试图将类多项式的理论向多复变进行推广并且定义了相应的类多项式映射，但遗憾的是没有能够得到相应地直化定理.这说明高维的情形同低维有这本质的不同，或者我们应当改进我们的类多项式映射模型，使其能够更好的抽象复多元多项式的动力学性质.在此之后，2011年H.Inou[8]发表论文，将局部解析共轭延拓为全局解析共轭用来研究复动力系统的遍历理论，作为其主要结果的一个特殊情形得到了一个关于类多项式的有趣结论，可看作是对直化定理的一种推广.
　　 本文内容主要分为两个部分，前一部分主要是作者关于复动力系统中类多项式映射所做的一些工作.类多项式映射理论有非常多的令人不可使用的应用，Yoccoz曾经说道“二十几年已经过去了，而类多项式映射的直化定理依然相当令人困惑不解，例如取一个具有在原点有一个Cremer型不动点的二次多项式，虽然人们不理解在它的Julia集上的动力学行为，我们依然可以由直化定理得出结论:如果你添加一个很小的三次项，其动力学行为将保持不变”.随着类多项式映射理论在复动力系统各个领域中越来越广泛的应用，以及类多项式映射的直化定理对于现在复动力系统的研究热点-重整化理论的基础性作用，我们有必要对类多项式映射的基本理论做一个系统的研究和介绍.目前，对于类多项式映射的基本性质介绍比较详细的文献资料只有A.Douady与J.Hubbard在1985年所发表的文章，其他文章只是引用其中的结果而对于类多项式映射本身的探讨并不多.作者在阅读文献的时候发现很多文章的相关定义并不一致（比如关于填充Julia集的定义），其实质是这些作者并没有真正的理解类多项式映射的基本定义，这些模糊的地方对于我们掌握并熟练运用类多项式映射这一理论工具产生了障碍.
　　 本文写作的主要目的在于向非该领域而又在实际的研究中应用到这一理论的专家们解释和阐明A.Douady与J.Hubbard的关于类多项式映射的开创性工作.我们补充和完善了他们论文中有关细节和相关结论的证明，修改了其中的不明和错误之处，希望可以帮助读者掌握类多项式映射的基本性质和充分地理解其直化定理的内涵.鉴于阅读A.Douady与J.Hubbard的文章需要具备相关的理论知识，我们首先介绍了与之有关的黎曼曲面的基本知识并且重点介绍了本文的研究工具—拟共形映射和相应的可测黎曼映射定理.我们对于A.Douady与J.Hubbard的文章中的两个没有给出证明的结论—关于类多项式映射的填充Julai集的连通性和它的吸引周期轨道的直接吸引域至少包含一个临界点-给出了证明.这些证明对于我们理解类多项式映射的性质和本质具有重要作用.此外，我们还对一个经常被忽视但是极为重要的事实—类多项式映射填充Julia集的紧致非空性—给出了证明并且澄清了该填充Julia集的定义方式，这一结论是我们定义类多项式映射的Julia集的理论依据，为我们研究其Julia集的测度性质及其Hausdorff维数提供了前提.我们最后将通过几个例子对类多项式映射理论在复动力系统中的应用进行说明.
　　 论文的结构安排如下:
　　 第一章，我们简要介绍了类多项式映射理论研究中所需要的基础知识:黎曼曲面上的复分析，曲面拓扑以及拟共形映射和可测黎曼映射定理等.我们着重对可测黎曼映射定理的内涵进行详细的阐释.
　　 第二章，第一节我们简要介绍了类多项式映射的发展过程.第二节我们给出了类多项式映射的基本定义，并通过若干个例子说明其存在的广泛性，介绍了类多项式映射的直化定理的证明过程.第三节我们研究了A.Douady与J.Hubbard的论文，对论文中的一个隐含事实:Kf的紧致非空性进行了证明，并且对论文中两个未加证明的结论:
　　 定理2.3.2类多项式映射的任意吸引周期轨道在其直接吸引域中都至少有一个临界点.
　　 定理2.3.4对于类多项式映射f，Kf连通当且仅当f的所有临界点都属于Kf.如果所有的临界点都不属于Kf，那么Kf则为一个Cantor集.给出了它们的详细证明，我们发现这些证明所使用的方法在类多项式映射的研究中具有非常重要的代表性，对于深入理解类多项式映射的动力学性质具有重要意义.在总结归纳直化定理的证明过程之后，我们给出了下述定理的证明:
　　 定理2.3.5设f:U→V为一个度数为d＞1的类多项式映射.那么存在一个次数为d的多项式P和一个拟共形映射φ:(C)→(C)满足φ(∞)=∞在它们的填充Julia集的一个邻域上使得f和P共轭:φ(f(z))=P(φ(z)).此外，φ(z)在K(f)上恒为零.
　　 第四节，我们对类多项式映射理论在复动力系统中的应用，通过若干个例子进行了说明.我们将会看到:对于多项式动力系统的研究在整个复动力系统的研究中所扮演的重要地位.
　　 作为本文的第二个主要组成部分，第三章是作者同崔巍巍合作的关于差分多项式的值分布和唯一性问题的一些结果，我们推广了KaiLiu和X.-G.Qi等人的论文中的相关结果得到了一些有趣的结果.1967年Hayman猜想[28]如果f是一个超越亚纯函数，n∈N，那么fnf'取任意一个有限的非零值无穷多次.当n≥3时，这一猜想已经由Hayman解决[29].Mues[30]解决了n=2的情形，Bergweiler和Eremenko[31]解决了n=1的情形.对于Hayman猜想的一种差分形式，Laine和Yang[32，定理2]证明了:
　　 定理A设f是一个有限阶超越整函数并且c是一个非零的复常数.那么对于n≥2，f(z)nf(z+c)取任意非零值a∈C无穷多次.
　　 LiuKai[33]将定理A推广到了亚纯函数的情形，得到了以下定理.下面我们假定α(z)，β(z)是f的小函数.
　　 定理B设f是一个具有有限阶的超越亚纯函数并且c是一个非零复常数.那么当n≥6时，差分多项式f(z)nf(z+c)-α(z)具有无穷多个零点.
　　 他同时还得到了:
　　 定理C设f是一个具有有限阶的超越亚纯函数并且c是一个非零复常数.那么当n≥7时，差分多项式f(z)n[f(z+c)-f(z)]-α(z)具有无穷多个零点.
　　 我们推广了定理C得到了一个一般形式:
　　 定理3.1.1设f是一个具有有限阶的超越亚纯函数并且c是一个非零复常数.那么当n≥m+7时，差分多项式f(z)n[f(z+c)-f(z)]m-α(z)具有无穷多个零点.
　　 我们同样考虑其他差分多项式的零点问题:
　　 定理3.1.2设f是一个具有有限阶的超越亚纯函数并且c是一个非零复常数.那么当n≥11时，差分多项式f(z)n[f(z+c)-f(z)]f(z+c)-α(z)具有无穷多个零点.
　　 与定理4.1.1的证明方法类似，我们可以很容易的得到下面的定理4.1.3:
　　 定理3.1.3设f是一个具有有限阶的超越亚纯函数并且c是一个非零复常数.那么当n+m≥3时，差分多项式f(z)n[f(z)-1]mf(z+c)-α(z)具有无穷多个零点.
　　 注1:我们在定理3.1.3中令m=2，显然我们可以得到:当n≥1时，f(z)n[f(z)-1]2f(z+c)-α(z)具有无穷多个零点.
　　 注2:使用同样的方法，我们可以证明:如果f是一个超越亚纯函数，那么当m+n≥8时，f(z)n[f(z)-1]mf(z+c)-α(z)具有无穷多个零点.
　　 最近有很多的作者开始考虑亚纯函数差分多项式的唯一性问题，例如Liu[33]和Qi[34].他们考虑了当差分多项式分担一个值的唯一性问题并得到了以下结果:
　　 定理D([34])设f和g是一个具有有限阶的超越亚纯函数并且c是一个非零复常数.如果n≥6，f（z）nf(z+c)和g(z)n9(z+c)分担zCM，那么f=t1g其中t1满足tn+11=1.
　　 定理E设f和g是一个具有有限阶的超越整函数并且c是一个非零复常数.对n≥14，如果f(z)nf(z+c)和g(z)ng(z+c)分担1CM，那么f=tg或者fg=t其中tn+1=1.
　　 对于其他的差分多项式的证明要困难得多，但在某些假设之下，我们可以给出同样的结果.我们得到了以下定理:
　　 定理3.1.4设f(z)和g(z)是具有有限阶的超越整函数并且c是一个非零复常数，n∈N.如果n≥m+6，f(z)n[f(z)m-a]f(z+c)和g(z)n[g(z)m-a]g(z+c)分担1CM，那么f=tg其中tm=1.
　　 定理3.1.5设f(z)和g(z)是阶数≥1的有限阶超越亚纯函数并且max{λ(f)，λ（g）}＜min{σ(f)，σ(g)}，c是一个非零复常数，n∈N.如果n≥17，f(z)n[f(z)-1]f(z+c)和g(z)n[g(z)-1]g(z+c)分担1CM，那么f≡g.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 预备知识

§1．1 黎曼曲面

§1．2 曲面的拓扑

§1．3 拟共形映射与可测Riemann映射定理

第二章 复动力系统中的类多项式映射理论

§2．1 引论与主要结果

§2．2 基本定义与直化定理的介绍

§2．3 主要结果的证明

§2．4 应用举例

第三章 差分多项式的值分布和唯一性理论

§3．1 引论及主要结果

§3．2 几个引理

§3．3 定理的证明

参考文献

致谢

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