一类半导体模型的几种数值方法比较

摘要

间断有限元方法集合了高分辨率有限差分方法和有限体积方法的优点，它是采用完全分片的多项式空间对近似解和试验函数进行空间离散，使用Runge-kutta方法进行时间分解的有限元方法。自八十年代末以来引起了一些数学家的注意，也因此得到了很好的发展.本文主要应用这种方法来分析一类半导体模型，构造相应的LDG格式，给出了稳定性分析，最后并给出了数值实验。
　　本文共分为五章。
　　第一章为引言，简单介绍了间断有限元方法的由来和发展，并对这种数值方法的有点做出总结.
　　第二章用局部间断有限元方法讨论如下半导体模型:
　　nt+（μnE）x=((τ)θnx)x,[x,t]∈[a，b]×[0,T],(0.0.1)
　　Φxx=e/ε（n-nd）.(0.0.2)
　　-Φx=E.(0.0.3)。
　　边界条件由电势Φ给出，Dirichlet边界条件:
　　Φ(0，t)=Φ0(t)，Φ(0.6,t)=Φ(0,t)+vbias，(0.0.4).
　　vbias表示电压差。n满足周期性边界条件，且满足初始条件:
　　n(x，0)=n0(x)，(0.0.5)。
　　其中，n表示空穴浓度，nd表示掺杂浓度，即杂质造成的间断点，μ表示电子的迁移率，(τ)=mμ/e表示松弛参数，m表示电子有效质量,e表示电子电量，ε介电常数，θ=kh/mT，kb表示Boltzmann常数，T为初始温度，Φ表示电势，E为电场强度。
　　我们对方程(0.0.1)构造出半离散格式:
　　引入辅助变量q=√(τ)0nx，找到nh，qh，Φh和Eh∈Vhk，使得对(∨)v(x)，w(x)，z(x)，r(x)∈Vkh，满足:
　　∫Ijnhtvdx-∫Ij(μnhEh-√(τ)θqh)vxdx+（μ(n)(E)-(q)）j+1/2v-j+1/2-（μ(n)(E)-(q)）j-1/2v+j-1/2=0，(0.0.6)
　　∫Ij√(τ)θqhwdx+√(τ)θnhwxdx-（√(τ)θ(n)）j+1/2w-j+1/2+（√(τ)θ(n)）j-1/2w+j-1/2=0，(0.0.7)
　　∫IjEhzxdx-(E)j+1/1z-j+1/2+(E)j-1/2z+j-1/2=∫Ije/ε(nh-nd)zdx，(0.0.8)
　　∫Ij（-Φhx）rxdx-（(Φ)x）j+1/1r-j+1/2+（(Φ)x）j-1/2r+j-1/2=∫IjEhrd，(0.0.9).
　　其中nh，qh，Φh和Eh是在空间上的某种近似，V-j+1/2表示v(x-j+1/2)，V+j-1/2表示v（x+j-1/2）.在上式中的(n)，(q)，(Φ),(E)项被称为数值流通量，是由于数值解在剖分边界的不连续造成的。求解此方程的关键是寻找合适的数值流通量。文献介绍了一种选择交替数值流通量的方法。在本文中，给出了适合本模型方程的数值流通量选取。
　　随后，作者对耦合方程组的半离散格式进行了稳定性分析和收敛性分析，证明了半离散格式的稳定性，得到了K+1/2阶的收敛阶。本章的最后，作者对半离散格式进行时间分解，给出了全离散格式。本文使用的时间分解主要采用了Shu提出的Runge-Kutta分解方法，该方法在保持了高精度的同时一定程度上提高了稳定性.通过选择合适的数值流通量我们可以证明该格式的稳定性。
　　第三章给出了方程的有限差分格式:
　　φkj+1-2φkj+φkj-1/h2=e/εnkj-（nd）j，(0.0.10).
　　Ekj+1/2=-φkj+1-φkj/h,(0.0.11).
　　nkj+1-nkj/r+μnk+1j+1/2Ekj+1/2-nk+1j-1/2Ekj-1/2/h=(τ)θnk+1j+1-nk+1j-nk+1j-nk+1j-1/h.(0.0.12).
　　第四章我们针对该模型应用间断有限元方法和有限差分方法给出了具体的数值试验，列出数值结果，给出了近似解的图形，从图形中我们通过比较可以看出有限差分法和LDG方法求近似解的优劣。
　　第五章是全文的总结，提出了一些希望。