Stokes-Darcy方程有限元方法的重构型后验误差估计

摘要

本文主要研究Stokes-Darcy方程的有限元逼近解的两种重构型后验误差估计及其理论分析，全文总共分为四章。
　　第一章介绍了文中所需要的各种数学工具。在§1.1中，介绍了有限元方法的基本概念及本文所用的变分原理，即Galerkin变分问题的定义及存在性、等价性定理;在§1.2中，给出了有限元后验误差估计的定义和两种重要的后验误差估计分类类型——残量型和重构型的理论基础，以及利用后验误差估计实现自适应网格细化的一般步骤;在§1.3中，简要介绍了作为有限元后验误差估计理论基础的超收敛和后处理技术，给出了超收敛的几个常用法则以及Hood-Taylor元后插值处理的过程。本章是以后各章的基础。
　　第二章，首先在§2.1中提出本文要研究的问题并给出该问题相应的弱形式，Stokes-Darcy流动方程如下:
　　｛Darcy方程:up=-K▽φp和▽·up=0，Stokes方程:-▽·T(uf，pf)=ff和▽·uf=0，满足Beavers-Joseph-Saffman-Jones界面边界条件
　　｛uf·nf=-up·np,-(τ)f·(T(uf，pf)·nf)=α(τ)f·uf,-nf·(T(uf，pf)·nf)=gφp，以及外边界条件
　　｛uf=0，on(a)Ω∩(a)Ωf，up·np=0，on(a)Ω∩(a)Ωp.流体区域中对速度和压力采用Hood-Taylor元，多孔介质区域中的压力采用分片二次元。
　　在§2.2中，参照文献[18]介绍了Stokes-Darcy方程有限元解的超逼近性
　　｛‖Πhu-uh‖1,Ωf+‖Php-ph‖0,Ωf+‖Πhφ-φh‖1,Ωp≤Ch2.5(‖u‖4,Ωf+‖p‖3,Ωf+‖φ‖4,Ωp),‖Πhu-uh‖0,Ωf+‖Πhφ-φh‖0,Ωp≤Ch3.5(‖u‖4,Ωf+‖p‖3,Ωf‖φ‖4,Ωp).
　　第三章基于协调等腰直角三角形网格上的超收敛结果，应用两种后处理技术对第二章给出的有限元解的插值进行分析，从而获得了整体超收敛结果以及渐近准确的后验误差估计结果。
　　方法一:引入后处理算子Π*2h和P*2h，基于重构解与精确解的整体超收敛结果，对精确解（u，p，φ）进行重构，得到第一种重构型后验误差估计指示子，即ηg=‖Π*2huh-uh‖1,Ωf+‖P*2hph-ph‖0,Ωf+‖Π*2hφh-φh‖1,Ωp.
　　方法二:引入新的后处理算子Gh，基于重构梯度与精确解梯度的整体超收敛结果，对精确解的梯度(▽u，，▽φ)进行重构，得到第二种梯度重构型后验误差估计指示子，即(η)g=|Ghuh-▽uh|1,Ωf+|Ghφh-▽φh|1,Ωp.
　　此外，证明了当有限元超收敛条件满足时，所得的重构型后验误差估计量是渐近精确的。
　　第四章，通过数值算例验证本文给出的两种后验误差估计是可行的。