移动边界问题及其在两个实际背景中的应用

摘要

自Stefan在十九世纪末对移动边界问题开始研究以来，经过了一百多年各国学者的共同努力，已经取得了许多成果，但是它的应用潜力还是无限的，例如对新型材料的开发和研究.在本篇论文中，我们主要研究了移动边界问题及其在两个实际背景中的应用.它是由彼此相关而又相互独立的三大章组成的:第一章简要地介绍了一些预备知识;第二章研究了球坐标系下的热传导相变问题并且获得了半解析半数值解;第三章则研究了高分子从高聚物基体内释放的分数阶移动边界问题并且获得了数值解。
　　在第一章的预备知识中，主要包括了在本论文后面的两章中会用到的数学理论知识以及数学工具和方法.另外，还介绍了一些关于移动边界问题的背景知识.在§1.1中，是有关移动边界问题的介绍，包括了移动边界的历史发展状况、移动边界问题所具有的一些特征等等;在§1.2节中，介绍了分数阶微积分的历史发展状况以及发展现状，重点介绍了分数阶微积分的相关理论.包括常见的两类分数阶算子即Caputo型分数阶算子和Riemann-Liouville(R-L)型分数阶算子以及它们常见的性质;在§1.3节中，我们将误差函数及其性质作了简要的介绍.特别是误差函数的微分性质将在第二章中要被用到;在§1.4节中，我们则简明扼要地介绍了分数阶微积分在科学和工程中所得到的一些应用，如用分数阶微分方程描述反常扩散现象、幂律现象等等，另外在生物医学领域、分形动力学领域、材料科学领域都或多或少地涉及了分数阶微积分.在第二章中，我们研究了球坐标系下的热传导相变问题，并以冰的形成过程为例建立了球坐标系下的数学模型，其实热传导相变问题归属于移动边界问题.在§2.1节中，介绍了目前学术界关于移动边界问题的研究情况即前人们研究移动边界问题的大致思路或者方向.在§2.2节中，我们建立了球坐标系下冰的形成的数学模型，经过了对方程组的无量纲化处理，有(a)u(x,t)/(a)t=((a)2u(x,t)/(a)r2+2/r(a)u/(a)r)，R(t)＜r＜1，u(r,t)=1，r=1，u(r,t)=0，r=R(t)，dR(t)/dt=-1/α(a)u(r,t)/(a)r|r=R(t)，r=R(t)，R(0)=1，t=0.通过变量代换v(r，t)=ru(r，t)，可以将上述方程组转化为直角坐标系下的方程组，然后引入新的中间变量θ=1-r/√t，就可以将偏微分方程转化为常微分方程，最后获得的解为v(r,t)=1-erf(1-r/2√t)/erf（1-R(t)/2√t）.而R(l)则需要通过解下面的方程来获得，dR(t)/dt=-1/αR(t)1/√πtexp(-(1-R(t))2/4t)/erf（1-R(t)/2√t）.在§2.3节，我们讨论了参数α值的变化对冰块形成的影响，通过绘制相关图形得出相应的结果.最后在§2.4节给出了本章的结论。
　　在第三章中，我们则研究了高分子从高聚物基体内释放的分数阶移动边界问题.§3.1节介绍了当前分数阶微积分在反常扩散、非牛顿流体等领域中的应用;在§3.2节中，我们给出了高分子从高聚物基体内释放的分数阶移动边界问题的数学模型，经过无量纲化处理,然后通过作变换ξ=ζ/S（(τ))，θ（ξ，(τ)）=φ（ζ，(τ)），就可以将区域0＜ζ＜S（(τ)）转化为区域0＜ξ＜1，即移动区域就可以变为固定区域了.最终得到方程组(a)θ/(a)(τ)=ξ/S（(τ)）dS(τ)/d(τ)(a)θ/(a)ξ+D(ξ,(τ))/Sα((τ))C0Dαξθ(ξ，(τ)），0＜ξ＜1，1＜α≤2,θ(0，(τ))=0，ξ=0,θ(1，(τ))=1，ξ=1,ηdS/d(τ)=D（ξ,(τ)）1/S(α-1)((τ))C0Dαξ-1θ（ξ，(τ)），ξ=1,S(0)=0，(τ)=0.利用数值方法就可以求解上述方程组，不过要利用高分子从高聚物基体内释放后一小段时间内0（ξ，(τ)），S（(τ)）的值，这个可以通过实验或别的方法得到;在§3.3节中，我们以药物从高聚物基质体内释放的分数阶可动边界问题为例，首先比较了数值方法得到的解与李西成得到的解析解,发现吻合较好.另外，还发现剖分越细，解是收敛的;其次，还研究了空间分数阶导数值的变化对药物从高聚物基体内释放的影响;在§3.4节，我们给出了本章的结论。

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 预备知识

§1．1 移动边界问题简介

§1．2 分数阶微积分基础理论及其发展简介

§1．3 误差函数简介

§1．4 分数阶微积分理论在科学和工程中的应用简介

第二章 球坐标系下的热传导相变问题

§2．1 引言

§2．2 模型及其求解

§2．3 结果与讨论

§2．4 结论

第三章 高分子从高聚物基体内释放的分数阶移动边界问题及其数值解

§3．1 引言

§3．2 模型及其求解

§3．3 结果与讨论

§3．4 结论

参考文献

致谢

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