二维约束FIR滤波器快速设计的理论和算法

摘要

随着计算机技术在存储容量和速度方面的快速发展，二维数字滤波器在医学图像处理、卫星图像处理、雷达和声纳信号处理等很多方面得到了广泛的应用，其设计问题引起了国内外众多学者的广泛关注。二维数字滤波器分为有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器和无限长单位脉冲响应(ⅡR)数字滤波两大类。FIR数字滤波器由于具有内秉稳定性、容易设计成线性相位等显著特点得到了更多的研究。
　　计算复杂度高是二维数字滤波器设计的主要困难。和一维数字滤波器不同，二维数字滤波器的待求参数是以矩阵形式排列，其设计问题实质是二元函数逼近问题，二元函数逼近理论的不完备性导致了设计问题的复杂性。传统的设计方法都是将待求参数矩阵转换为向量形式，然后采用一维的设计算法求解，从而导致了较大的计算复杂度和设计时间。近年来，一些学者提出了用于直接设计二维数字滤波器的高效算法，即在整个设计中都保持二维滤波器待求参数的矩阵形式不变，有效减小了计算复杂度和存储空间，提高了算法的效率。为方便叙述，我们将这种直接求解参数矩阵的算法称为基于矩阵的算法，而将那些把待求参数矩阵转换为向量形式进行求解的算法称为向量化算法。现有的基于矩阵的算法中，只考虑了最小二乘(LS)设计和加权最小二乘(WLS)设计，设计过程中没有考虑任何约束，使得其算法应用受到了一定的限制。
　　针对二维FIR滤波器的快速设计问题，本论文首次在基于矩阵的算法中考虑显式约束情形，提出求解二维FIR数字滤波器的约束最小二乘(CLS)和（约束）minimax设计问题的快速设计算法，解决了现有基于矩阵的算法不能设计带约束的二维FIR滤波器的困难。
　　文献[70]中指出，矩形对称滤波器是中心对称滤波器中同时关于两个坐标轴对称的一种特殊形式，中心对称滤波器是共轭对称复系数滤波器中单位脉冲响应为实数时的一种特殊形式，矩形对称、中心对称和复系数共轭对称滤波器都具有线性相位，是线性相位二维FIR滤波器，线性相位滤波器显然是任意幅值和相位滤波器的一种特殊形式。因此按照从特殊到一般，层层递进的原则，本论文将按顺序分别考虑矩形对称、中心对称、共轭对称复系数和任意幅值和相位二维FIR滤波的CLS设计和（约束）minimax设计问题，提出基于矩阵的设计理论和算法。主要工作如下:
　　(1)考虑矩形对称二维FIR滤波器的CLS和minimax设计问题。将矩形对称滤波器的CLS设计表示为具有一个待求实值参数矩阵的凸二次规划(QP)问题，并提出了三种基于矩阵的CLS算法Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ求解此类问题。仿真实例表明，和传统方法相比，当给定约束不太紧时，三种基于矩阵的CLS算法都非常有效;当给定约束非常紧（接近minimax解）时，基于矩阵的CLS算法Ⅰ存在收敛性问题，基于矩阵的CLS算法Ⅱ和Ⅲ仍然非常有效;当设计高阶滤波器时，基于矩阵的CLS算法Ⅲ效率最高。提出了基于矩阵的SCLS方法和混合L2/L∞范数方法，将矩形对称滤波器minimax设计问题也转换为具有一个待求参数矩阵凸QP问题来求解。设计实例以及和其它现存方法的比较结果表明了本文提出方法的有效性和高效性。
　　(2)考虑中心对称二维FIR滤波器的CLS和minimax设计问题。将中心对称滤波器的CLS设计问题表示成具有2个待求实值参数矩阵的凸QP问题，并将基于矩阵的CLS算法Ⅱ和Ⅲ推广扩展到此类问题的求解。推广基于矩阵的SCLS方法和混合L2/∞范数法将中心对称滤波器的minimax设计问题转换为具有2个待求参数矩阵的凸QP问题求解。设计实例表明了提出的方法优于现存的其他方法。
　　(3)考虑共轭对称复系数二维FIR滤波器的CLS和minimax设计问题。将共轭对称复系数滤波器的CLS设计问题和minimax设计问题（应用矩阵的混合L2/L∞范数方法）都统一表示为具有4个待求参数矩阵的凸QP问题。将基于矩阵的CLS算法Ⅲ推广到此类问题的求解。仿真实例表明，和向量化算法相比，本文提出的方法非常高效。
　　(4)考虑任意幅值和相位二维FIR滤波器的CLS和（约束）minimax设计问题。提出椭圆误差和相位误差约束优化设计模型。将椭圆误差和相位误差约束的CLS(EPCLS)设计、相位误差约束的minmax椭圆误差幅值(PMMEE)设计、椭圆误差约束的minmax相位误差(EMMPE)设计、同时最小化椭圆误差幅值最大值的minmax相位误差(MMPEEE)设计都直接或者间接（推广扩展基于矩阵的混合L2/L∞范数法或SCLS方法）转换为具有一个待求参数矩阵的半无穷凸QP问题。针对此类问题，结合基于矩阵的CLS算法Ⅲ，对现有的向量化CPCLS-GI算法[24]进行改进，提出了基于矩阵的EPCLS-GI算法，使设计算法的复杂度从每次迭代的O(N6)降低到了O（N4），大幅度提高了算法的计算效率。为减小最大群延迟误差，提出了和滤波器类型相关的二维Sigmoid型（S型）相位误差上界函数。针对任意幅值和相位二维FIR滤波器的优化设计，提出的椭圆复误差约束以及二维S型相位误差上界函数的CLS和minimax设计模型，可以大幅度减小滤波器的最大群延迟误差并有效减小滤波器的幅值误差。设计实例及与其他现存方法的比较结果表明了本文提出各种方法的高效及有效性。
　　本论文提出的所有算法都是基于矩阵的算法，即在整个设计过程中始终保持待求参数的矩阵形式不变，很大程度上减小了设计问题的计算复杂度和占用计算机内存。设计实例表明论文提出的各种算法都具有计算效率高，占用内存小等特点，并且可以用来设计各种二维FIR滤波器。

目录

声明

摘要

符号说明

第1章 绪论

1．1 课题背景和研究现状

1．2 研究内容及章节安排

第2章 矩形对称FIR滤波器的CLS和minimax设计

2．1 频率响应的矩阵表示形式

2．2 基于矩阵的CLS设计问题描述

2．3 基于矩阵的CLS算法

2．3．1 线性等式约束的LS设计情况

2．3．2 线性不等式约束的LS设计情况

2．3．3 基于矩阵的CLS算法的计算复杂度分析

2．3．4 仿真实例

2．4 基于矩阵的minimax设计问题描述

2．4．1 基于矩阵的序列约束最小二乘(SCLS)方法

2．4．2 基于矩阵的混合目标(L2／L∞)方法

2．4．3 仿真实例

2．5 本章小节

第3章 中心对称FIR滤波器的CLS和minimax设计

3．1 频率响应的矩阵表示形式

3．2 基于矩阵的CLS设计问题描述

3．3 基于矩阵的CLS算法

3．3．1 线性等式约束的LS设计情况

3．3．2 线性不等式约束LS设计情况

3．4 基于矩阵的minimax设计问题描述

3．4．1 基于矩阵的SCLS方法

3．4．2 基于矩阵的混合目标(L2／L∞)方法

3．5 仿真实例

3．6 本章小节

第4章 共轭对称复系数FIR滤波器的CLS和minimax设计

4．1 频率响应的矩阵表示形式

4．2 基于矩阵的CLS设计问题描述

4．3 基于矩阵的minimax设计问题描述

4．4 基于矩阵的CLS算法

4．4．1 线性等式约束的LS设计情况

4．4．2 线性不等式约束LS设计情况

4．5 仿真实例

4．6 本章小结

第5章 任意幅值和相位二维FIR滤波器的CLS和minimax设计

5．1 频率响应的矩阵表示形式

5．2 基于矩阵的EPCLS设计问题描述

5．3 基于矩阵的CLS算法

5．3．1 基于矩阵的EPCLS-GI算法

5．3．2 仿真实例

5．4 基于矩阵的minimax复误差幅值设计

5．4．1 基于矩阵的PMMEE设计问题描述

5．4．2 二维Sigmoid相位误差上界函数

5．4．3 仿真实例

5．5 基于矩阵的minimax相位误差设计

5．5．1 基于矩阵的EMMPE设计问题描述

5．5．2 基于矩阵的MMPEEE设计问题描述

5．5．3 基于矩阵的SCLS方法

5．5．4 仿真实例

5．6 本章小节

第6章 结论

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文及参与的科研项目

附录：外文论文两篇