不定离散Sturm-Liouville边值问题的非实特征值

摘要

Sturm-Liouville边值问题起源于19世纪中叶，是为了描述固体的热传导而建立起得连续的数学模型。Sturm-Liouville边值问题有深远的物理背景，它很大一部分来源于热传导问题、弦振动问题、Possion边值问题以及其他偏微分边值问题。Sturm-Liouville边值问题的谱理论有重要的物理意义及现实意义，比如它能很好的体现振动的频谱以及Schr(o)dinger方程的能谱。现实生活中，我们在模拟某些物理现象时所建立的物理模型可能是离散的，并且，有些连续问题通过离散化更容易解决，这就促使了离散问题的研究。离散Sturm-Liouville边值问题的研究对于用离散和连续数学模型来描述的问题都有着十分重要的作用。
　　Sturm-Liouville边值问题是形式自伴的当且仅当势函数是实值函数。当系数都为实值时，Sturm-Liouville边值问题已经在文献[1-5]及相关文献中有了深入的研究。类似于正则自伴边值问题，当Sturm-Liouville方程不是形式自伴时，利用希尔伯特空间中紧算子的谱理论可知Sturm-Liouville边值问题亦只有可数个特征值，且没有有限的聚点。当势函数的虚部不为零时，Sturm-Liouville边值问题可能有无限多个非实特征值（见[6,定理1.1]）。Sturm-Liouville边值问题的特征值的渐进性也有研究（如[7-9]）。文献[10]中给出了满足周期、反周期、Dirichlet和Neumann边值条件的Sturm-Liouville方程的所以特征值是单的充分条件。文献[11-14]及相关文献中也介绍了非自伴微分表达式的一些结果。当Sturm-Liouville方程形式自伴时，文献[4]中用比较定理给出了Sturm-Liouville边值问题的特征值关于方程的系数、比较方程的系数与比较方程的特征值的界。文献[3]中，作者用Rayleigh-Ritz方法给出了Sturm-Liouville边值问题当势函数大于零，权函数恒为1时的特征值的界。
　　对于离散Sturm-Liouville边值问题，1964年F.V.Atkinson在文献[15]中开始了自伴差分系统谱问题的研究。文献[16]研究了自伴二阶差分系统的振动性与非振动性。文献[17]和[18]也研究了二阶线性差分方程的振动性。文献[19]研究了差分方程的Green函数、共轭性。文献[20]研究了离散形式下的Prüfer变换。文献[21-22]研究了离散Sturm-Liouville边值问题的谱。文献[23]中研究了二阶正则向量差分边值问题，得到了特征值的个数（有限个）、特征函数的正交性、特征值的最大-最小值原理等。随着研究的继续，自伴线性差分系统谱理论的研究相对趋于完善（见文献[24]）。
　　我们注意到如下问题。第一，以上关于离散Sturm-Liouville边值问题的研究都是在自伴情况下的，此时离散Sturm-Liouville边值问题没有非实特征值。但当权函数变号时，非实特征值有可能存在。连续Sturm-Liouville边值问题中常采用“特征曲线”法来研究非实特征值的存在问题（如文献[25]），但目前没有离散Sturm-Liouville边值问题存在非实特征值的充分条件。第二，连续Sturm-Liouville边值问题中有许多关于特征值的界的估计的结果（如文献[3]，[4]，[26]，[27]），而对于离散情况，目前并没有特征值界的相应结果。第三，连续Sturm-Liouville边值问题特征值的界的估计的现有结果都是在实系数情况下的(如文献[26]，[27])，但当系数为复数时，目前没有特征值界的估计的结果。
　　本文研究的是不定离散Sturm-Liouville边值问题和复系数连续Sturm-Liouville边值问题的非实特征值。本文给出了离散Sturm-Liouville边值问题相应右定问题的谱的一些性质;给出了双参数离散Sturm-Liouville边值问题“特征曲线”的光滑性、与直线的交点和特征曲线的临界点等性质;利用“特征曲线”的性质给出了不定离散Sturm-Liouville边值问题非实特征值存在的一个充分条件;给出了当不定离散Sturm-Liouville边值问题存在非实特征值时，非实特征值的实部和虚部关于方程系数的界;给出了复系数连续Sturm-Liouville边值问题的所有特征值的实部关于方程的系数的下界以及每个特征值的虚部关于方程的系数和该特征值的实部的界。
　　本文结构如下。第一章是预备知识，主要给出了二阶向量差分方程的谱理论;第二章给出了不定离散Sturm-Liouville边值问题的相应右定问题的一些性质及特征曲线的性质，从而得到不定离散Sturm-Liouville边值问题非实特征值存在的一个充分条件;第三章给出了当不定离散Sturm-Liouville边值问题存在非实特征值时，非实特征值的实部和虚部关于方程系数的界的估计;第四章给出了复Sturm-Liouville边值问题的所有特征值的实部关于方程的系数的下界以及每个特征值的虚部关于方程的系数和该特征值的实部的界;第五章是总结与展望。

目录

声明

摘要

第一章 预备知识

摘要

§1．1 引言

§1．2 二阶向量差分方程谱理论

第二章 不定离散Sturm-Liouville边值问题非实特征值的存在性

摘要

§2．1 引言

§2．2 相应右定问题的一些性质

§2．3 特征曲线的性质

§2．4 非实特征值存在的充分条件

第三章 不定离散Sturm-Liouville边值问题非实特征值的界

摘要

§3．1 引言

§3．2 非实特征值的界

第四章 复Sturm-Liouville边值问题特征值的界

摘要

§4．1 引言

§4．2 特征值的界

第五章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文目录