一类时间分数阶抛物型方程反问题的磨光解法

摘要

我们一直在研究经典的时间分数阶抛物型方程的正问题，对该类问题的研究也比较完善.但是，对于该类问题反问题的研究不是很多，在许多的工程问题中经常会运用到此类反问题.例如，得知物理内部的温度、密度等问题，对于此类问题只能通过某一时刻的测量值来反演.本文主要研究的是0＜γ＜1的时间分数阶反问题:{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x,t)∈(0,π)×(0，T],u(0，t)=u(π，t)=0，t∈[0，T]，u(x，T）=g(x）， x∈[0，π].(0.1)这里我们定义的是Caputo意义下的分数导数即:dγ/dtγf(t）:=1/Γ(1-γ)∫t0df(s)/ds ds/(t-s)γ.
　　我们的反问题是:由测量值u(·，T)得到u(x，t），t∈[0，T）.这个问题是不适定的:如果所研究问题的解存在，它不连续依赖已知的数据.因此我们需要对该问题进行正则化处理.
　　首先，我们假设初始值u(x，0)满足先验条件‖u(x，0)‖Hp0(0，π)≤ E，p＞0.此外，设gδ(x)是最终测量值g(x)的扰动数据，并且两者之间满足‖gδ(x)-g(x)‖L2(0，π)≤δ.因此我们需要考虑下面的反问题{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x，t)∈(0，π)×（0，T]，u（0，t)=u（π，t）=0， t∈[0，T]，u(x,T)=gδ(x), x∈[0，π].(0.2)
　　对于上述问题的研究到目前为止不是很多，最初在文献[23]中，作者运用quasi-reversibility方法构造的正则化格式;另一关于该问题的研究出现在文献[24]中，作者用投影的方法构造正则化格式.在本文中，我们提出了用磨光法来构造正则化格式，即{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x，t)∈(0，π)×(0，T]，u(0，t)=u(π，t)=0， t∈[0，T]，u(x，T)=ψα*g(x)， x∈[0，π].(0.3)并且给出了在‖·‖Hp0先验信息下的估计形式，同时给出了正则化参数α的选取方式，即如果我们选取α={(δ/E)1/p+2,0＜p＜2,(δ/E)1/2, p≥2,那么我们可以得到如下的估计:‖u（·，t）-uα,δ(·，t)‖L2(0，π)≤{(C)δp/p+2E2/p+2,0＜p＜2,(C)δ1/2E1/2, p≥2,(0.4)这里(C)=C(γ，T)·C2和C2依赖于分数阶γ0，γ1.
　　最后，我们会通过相应的数值例子来验证该正则化格式的可行性和有效性.

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 反问题简介

§1．2 问题介绍

§1．3 研究现状

1．3．1 quasi-reversibility方法

1．3．2 投影方法

第二章 预备知识

第三章 正则解的收敛性分析

第四章 HPO空间上的误差估计

第五章 数值算例

第六章 小结及展望

参考文献

致谢