求解正倒向随机微分方程的预估校正方法和多步方法及其应用

摘要

在本文中，我们将系统研究求解正倒向随机微分方程(FBSDEs)和带跳的正倒向随机微分方程(FBSDEJs)的高精度数值算法。在[54]中，Pardoux和彭实戈院士首次证明了非线性倒向随机微分方程(BSDE)解的存在唯一性。在实际问题中，FBSDEs的结构通常十分复杂，很难通过解析方法得到其显式解。因此，研究FBSDEs的数值算法就显得尤为重要。根据目前的研究情况，求解FBSDEs的数值方法大致可分为两类:一类是以非线性Feynman-Kac公式为基础，借助求解PDEs的数值方法来求解FBSDEs;另一类方法则直接分析和离散FBSDEs，利用概率统计工具对其进行数值求解。本文将从第二类方法入手，研究求解FBSDEs的高阶数值格式。
　　通过引入一个新的Gauss过程和一个新的Poisson随机测度，对非耦合FBSDEs和FBSDEJs分别提出了一种显格式（预估校正格式），并对所提格式进行了严格的误差估计和收敛性分析，证明了所提格式能够达到二阶收敛。然而，在分析过程中，还得到了以下结论:对于求解FBSDEs和FBSDEJs的预估校正格式，使用弱二阶（或更高阶）格式求解正向方程是使倒向方程的数值解达到二阶收敛的必要条件。事实上，在[88，94]等研究工作中，作者也得到了类似的结论。这个条件极大的限制了预估校正格式在实际问题中的应用，特别是在高维情况。其主要原因有以下两个方面:第一，正向随机微分方程(SDE)和带跳的随机微分方程(SDEJ)的高阶格式非常复杂，尤其在高维情况时很难实现。特别是SDEJ的高阶格式，不仅形式复杂，在进行数值模拟时还需要考虑足够多的跳，才能保证其高阶收敛性。第二，在许多实际问题中，人们只关心倒向方程的解。在很多模型中，正向方程只是对状态变量的描述，对其数值解的精度并不关心。因此，很自然的会提出以下问题:
　　使用一种崭新的方法对BSDE进行研究，得到了两个一阶ODEs。基于ODEs中的一阶微分项与扩散过程生成元之间的等价关系，提出了求解FBSDEs的全新多步格式。结合扩散过程生成元的局部性这一特点，在全新多步格式中，可以使用Euler格式求解SDE，而不影响对ODEs中一阶微分项的逼近精度，从而使BSDE的数值解能够保持高阶收敛性。对于FBSDEJs，通过类似的研究方法，也提出了一类多步格式。根据跳扩散过程生成元的局部性特点，在保证倒向方程的数值解达到高阶收敛的前提下，不仅可以使用Euler格式求解正向SDEJ，而且只需要考虑一个跳。这显著的降低了数值格式的计算复杂度。
　　求解FBSDEs和FBSDEJs全新多步格式的提出，对上文提到的问题给出了肯定的答案。 Euler格式不仅计算简便，而且易于推广到高维情况。因此，多步格式的这种特点也为高维FBSDEs的高阶算法研究奠定了良好的基础。在此基础上，为了应对维数灾难，算法还需要在其它各个方面提高运算效率。
　　最后，我们对随机最优控制问题的数值算法进行研究。根据推广的随机最大值原理，随机最优控制问题可以转化为一个带有外部最优条件的FBSDEs系统。然后，通过分别研究优化算法和FBSDEs的数值解法，我们提出了一个求解随机最优控制问题的一般算法。在随机最优控制问题中，状态方程的漂移和扩散系数都含有未知的控制过程，这使我们很难对状态方程进行高精度求解。根据这个特点，我们选取全新的多步格式作为求解FBSDEs的数值方法。在不进行更精细的时间剖分的前提下，得到了求解随机最优控制问题的二阶收敛算法。
　　综上所述，本文的主要创新之处可以总结为以下几点。
　　1.提出了求解非耦合FBSDEs和FBSDEJs的显式二阶格式。利用预估校正的思想，避免了求解Yt时的迭代过程，并通过误差分析，严格证明了所提格式可以达到二阶收敛。
　　2.首次提出求解耦合FBSDEs和FBSDEJs的高阶格式。基于随机分析和正倒向随机微分方程的理论，分别得到了与FBSDEs和FBSDEJs对应一阶ODEs。以ODEs的性质和数值格式为基础，提出了一类全新的多步格式。根据扩散过程和跳扩散过程生成元的局部特性，在这类格式中，我们可以使用Euler方法求解正向方程，同时使得倒向方程的数值解仍然保持高阶收敛性。
　　3.首次提出求解高维FBSDEs的高阶算法。以所提多步格式为基础，通过使用具有自嵌套结构的稀疏网格和具有分层结构的正交多项式，提出了求解高维FBSDEs的高效多步算法。在这个算法中，稀疏网格上的快速变换使我们能够高效的求出高维空间中函数在所选基底下的展开系数，极大地提高了整个算法的运算效率。
　　4.首次提出了求解随机最优控制问题的高阶算法。以推广的随机最大值原理为基础，提出了通过FBSDEs求解随机最优控制问题的一般算法。然后，根据随机最优控制问题的特点，选取适当的优化算法和FBSDEs数值格式，成功的构造出了求解随机最优控制问题的二阶算法。在一些金融和经济学问题中，该算法都有良好的表现。下面，我们分别介绍每一章的主要内容和得到的结果。
　　第一章中我们回顾了FBSDEs和FBSDEJs的研究进程以及一些主要的数值格式。
　　第二章主要介绍了一些关于FBSDEs和FBSDEJs的基础知识。
　　在介绍FBSDEs之前，我们首先引入一个带域流的完备概率空间（Ω，F，F，P），其中F=[Ft}0≤t≤T，Ft是由d维布朗运动Wt=（W1t，…，Wdt）(T)生成的自然σ-域流，T是终端时刻。现在，我们考虑定义在（Ω，F，F，P)上的正倒向随机微分方程，{ Xt=X0+∫t0b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t0σ(x,Xs,Ys,Zs)dWs,(SDE)Yt=ξ+∫Ttf(s,Xs,Ys,Zs)ds-∫TtZsdWs.(BSDE)(1)X0∈F0和ξ∈FT是给定的随机变量，分别作为SDE的初始条件和BSDE的终端条件，f:[0.T]×Rq×Rp×Rp×d→ Rp称为BSDE的生成元。（Xt，Yt，Zt）:[0,T]×Ω→Rq×Rp×Rp×d是需要求解的未知过程。我们称（Xt，Yt，Zt）是方程(1)的L2-适应解，如果（Xt，Yt，Zt）是平方可积的Ft-适应过程，且满足FBSDEs(1)。FBSDEs(1)称为非耦合的，如果正向方程的漂移系数b和扩散系数σ不依赖于Yt和Zt。在本文中，我们假设所研究的FBSDEs其终端条件是XT的确定性函数，即ξ=ψ（XT），并且参数b，σ和f都是（t，Xt，Yt，Zt）的确定性函数。
　　对于带跳的正倒向随机微分方程，我们需要引入另一个概率空间（Ω，F，F，P），其中F={Ft}0≤t≤T是一族右连续的域流，T是终端时刻。Ft是由下面两个相互独立的随机过程生成的，
　　在第三章中，我们提出了求解FBSDEs和FBSDEJs的预估校正格式，并通过误差分析，严格的证明了其二阶收敛性。
　　首先，引入一个新的随机过程△(W)tn，s△(W)tn，s=2△Wtn，s-3/△tn∫stn(r-tn)dWr, s≥tn,(3)然后，根据得到的参考方程，我们提出了求解FBSDEs的预估校正格式，
　　格式1.给定随机变量X0，YN和ZN，对n=N-1，…，1，0通过以下步骤倒向求解随机变量Yn和Zn，1/2△tnZn=EXntn[Yn+1△(W)(T)n+1]+△tnEXntn[fn+1△(W)(T)n+1]，(4)(Y)n=EXntn[Yn+1]+△tnEXntn[fn+1]，(5)Yn=EXntn[Yn+1]+1/2△tn(f)n+1/2△tnEXntn[fn+1]，其中(f)n=f（tn，Xn，(Y)n，Zn），(W)n+1=△(W)tn，tn+1，上式中的Xn+1通过具有以下形式的数值方法求解，Xn+1=Xn+φ(tn，Xn，△tn，ξn+1)，(6)接下来，我们对所提格式的收敛性进行分析，得到了下面的定理。
　　在一定的假设条件下，对于充分小的△t，我们有以下估计。E[|eny|2]+△tN-1∑i=n(1+C△t)i-nE[|eiz|2]≤C1(E[|eNy|2]+△tE[|eNz|2])+C2(△t2β+△t2γ+△t4)对0≤n≤N-1都成立。这里C＞0是一个依赖于c0和L的常数，C1＞0是一个依赖于c0，T和L的常数，C2＞0依赖于c0，T，L，K，x0和参数b，σ，f和ψ及其导数的上界。β和γ与SDE数值格式(6)的弱收敛阶有关。
　　从这个定理中我们可以看出，当使用弱二阶格式求解SDE时，求解FBSDEs的预估校正格式可以达到二阶收敛。
　　类似的，对于FBSDEJs，我们需要在△(W)tn，s的基础上，再引入另一个新的随机过程，△(μ)*tn，s=∫stn∫Ep(r)η(e)(μ)（de，dt），(7)其中，p(r)=2-3/△tn(r-tn)。然后，通过对FBSDEJs进行分析，我们获得了三个参考方程，并以此为依据提出了下面求解FBSDEJs的预估校正格式。
　　使用弱二阶收敛的格式求解SDEJ，是BSDEJ的数值解达到二阶收敛的必要条件。
　　虽然正向SDE和SDEJ的数值格式已经得到了深入研究，但其高阶格式的形式依旧非常复杂。特别是在求解SDEJ时，随着收敛阶要求的提高，在求解过程中必须考虑足够多的跳，这使得数值格式更加复杂。因此，对正向SDE和SDEJ高阶格式的需求，极大的增加了我们获得BSDE和BSDEJ高精度数值解的难度。

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 前言

第二章 预备知识

§2．1 正向随机微分方程

§2．2 正倒向随机微分方程

§2．3 带跳的正向随机微分方程

§2．4 带跳的正倒向随机微分方程

第三章 非耦合FBSDEs和FBSDEJs的预估校正方法

§3．1 求解FBSDEs的预估校正方法

3．1．1 参考方程

§3．1．2 数值格式

§3．1．3 误差估计

§3．1．4 数值实验

§3．2 求解FBSDEJs的预估校正方法

§3．2．1 参考方程

§3．2．2 数值格式

§3．2．3 误差估计

§3．2．4 数值实验

第四章 耦合FBSDEs的全新多步方法

§4．1 扩散过程及其生成元

§4．2 导数的数值逼近

§4．3 参考方程

§4．4 非耦合FBSDEs的半离散数值格式

§4．5 非耦合FBSDEs的全离散数值格式

§4．6 条件期望Extn[·]的数值逼近

§4．7 耦合FBSDEs的数值格式

§4．8 数值实验

§4．8．1 非耦合FBSDEs

§4．8．2 耦合FBSDEs

第五章 耦合FBSDEJs的多步数值格式

§5．1 跳扩散过程的生成元及其局部性

§5．2 耦合FBSDEJs的多步格式

§5．2．1 参考方程

§5．2．2 半离散格式

§5．2．3 全离散格式

§5．3 数值实验

第六章 利用稀疏网格和谱方法求解高维FBSDEs

§6．1 多步格式的简单回顾

§6．2 稀疏网格

§6．3 稀疏网格上的函数逼近

§6．4 条件期望的估计

§6．5 多维FBSDEs的全离散多步格式

§6．6 数值实验

第七章 求解随机最优控制的二阶算法及其在金融与经济学中的应用

§7．1 随机最优控制问题的简单介绍

§7．2 随机最大值原理

§7．3 求解随机最优控制问题的数值算法

§7．3．1 优化算法

§7．3．2 求解FBSDEs的数值算法

§7．4 数值实验：在金融和经济学中的应用

结束语

参考文献

致谢

博士期间发表及完成的论文