发展方程的对称与孤立波解及相似解

摘要

在数学、物理学的研究中我们会遇到大量的非线性发展方程,对此求解是一个十分困难的且具有挑战性的问题。许多学者为此做出了卓越的贡献,其中Lie群分析法、函数变换法是比较经典的方法,它对求解微分方程具有十分重要的理论意义和现实意义。Lie群分析法是在Lie变换群下研究非线性发展方程的不变性质,根据不变性质,使得方程约化,从而找到它的不变解即相似解。我们利用不变性(Lie变换群是非线性发展方程允许的对称)得到微分方程(组)的确定方程组,通过解确定方程组或更进一步解特征列集得到Lie变换群的无群小生成元(即方程(组)的对称),最后利用对称求得方程的不变解。因此对称对求解非线性发展方程具有十分重要的作用。函数变换法是通过对方程作适当的变换(如行波变换,傅立叶变换等)把原方程约化为较易处理的方程。关键是变换选取的要合理恰当,其中tanh—函数法或推广的tanh—函数法不失为一种有效的方法。本文的主要工作(1)利用朝鲁学者计算微分多项式组特征列集的程序包计算出26个偏微分方程(组)的特征列集和它们对称:(2)我们用推广的Tan-函数(Sechq-Tanhq函数)方法给出N为奇数时的多分量Schrodinger和Klein-Gordon方程组以及常系数Kdv方程的孤立波解:(u,uv~2,…,uv~r,…,uv~N),其中u=sechq(),v=tanhq();(3)求出了变系数Kdv方程的一类孤立波解。

目录

摘要

Abstract

第一章 综述

§1.1 引言

§1.2 本文的主要工作

§1.3 预备知识

§1.3.1 偏微分方程的对称

§1.3.2 偏微分方程组的对称

§1.3.3 Tanh-函数法

第二章 一些发展方程(组)对称的计算

第三章 一些发展方程(组)的孤立波解及相似解

§3.1 非线性Schr(o|¨)dinger及Klein-Gordon方程组

§3.1.1 非线性Schr(o|¨)dinger及Klein-Gordon方程组解的研究状况

§3.1.2 Schr(o|¨)dinger及Klein-Gordon方程的一类孤立波解

§3.2 高阶Kdv方程的孤立波解

§3.3 变系数Kdv方程的相似解

第四章 问题与展望

参考文献

攻读硕士期间待发论文

致谢

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