一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器

摘要

本发明所提出的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器是基于一种特殊分数阶发展方程去噪算法来实现对纹理图像的分数阶、非线性、多尺度、高精度去噪。该滤波器是采用缓存器、差值平方器一、-ν3次方幂方器、乘法器一、λn发生器、发生器、乘法器二、乘法器三和加法器一以级联方式构成的。该滤波器具有在去除纹理图像噪声的同时，既能尽量保留平滑区域中的低频轮廓，同时又能非线性保留灰度值跃变幅度相对较大的高频边缘，而且还能非线性保留灰度值跃变幅度变化相对不大的纹理细节的显著优点。该滤波器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行去噪的应用场合。本发明属于应用数学、数字图像处理和数字电路交叉学科的技术领域。

说明书

所属领域

本发明所提出的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器是基于一 种特殊分数阶发展方程去噪算法来实现对纹理图像的分数阶、非线性、多尺度、 高精度去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁、v₂和v₃不是传统的整数阶， 而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数，且v₃≠1，2，3。见图1， 该滤波器是采用缓存器2、差值平方器一3、-v₃次方幂方器4、乘法器一5、λⁿ发生器11、发生器10、乘法器二8、乘法器三9和加法器一6以级联方 式构成的。该滤波器具有在去除纹理图像噪声的同时，既能尽量保留平滑区域中 的低频轮廓，同时又能非线性保留灰度值跃变幅度相对较大的高频边缘，而且 还能非线性保留灰度值跃变幅度变化相对不大的纹理细节的显著优点。该滤波 器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行去噪的应用场合。本发明属 于应用数学、数字图像处理和数字电路交叉学科的技术领域。

背景技术

数字图像处理理论主要包括三大类方法：随机建模、小波理论和偏微分方 程方法。其中，基于偏微分方程的图像处理属于数学分析中重要的一部分，是 图像处理领域中的一个重要分支。偏微分方程方法它与物理世界紧密联系在一 起。著名的波动方程和热传导方程都属于整数阶偏微分方程，还有Euler方程、 Poisson方程和Laplace方程等。物理学中的整数阶偏微分方程经常被应用到其 他领域，如生物、金融等，并已被应用到了数字图像处理领域。关于基于整数 阶偏微分方程的数字图像处理技术，一方面，该图像处理方法属于低层图像处 理的范畴，其处理结果通常被当作中间结果提供给其他图像处理方法进一步使 用；另一方面，随着该图像处理方法的深入研究，人们越来越深刻地挖掘图像 和图像处理的本质，并试图用严格的数学理论对现存的传统图像处理方法进行 改造，这对于以实用为主的传统图像处理方法是一种挑战。

目前，虽然偏微分方程已被应用到了数字图像处理领域，但是绝大多数相 关研究都还仅仅局限于整数阶偏微分方程的应用，然而对于分数阶偏微分方程 在数字图像处理领域中的应用在国内外都还研究甚少。整数阶偏微分方程本身 来自连续域，所以它本质上能描述的是模拟图像，一旦其解的存在性和唯一性 被证明了，我们就可以利用离散的数值方法对针对数字图像的整数阶偏微分方 程求取其数值解。因为基于整数阶偏微分方程的数字图像处理可以与一些物理 过程相联系，因此它们通常都用连续域进行描述。一般来说，整数阶偏微分方 程方法与通常的滤波方法相比计算量是比较大的：需要迭代求解或者是有限差 分所构造的方程组求解，整数阶偏微分方程类方法的主要优点为：第一，整数 阶偏微分方程和相应的曲线(曲面)流给出分析图像的连续模型，离散的滤波 表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分、局部非线性分析易于实现。另 一方面，当图像表示为连续信号，整数阶偏微分方程可以被视为在微小子邻域 局部滤波的迭代，这种特性允许将已有的滤波方法进行合成与分类，并可形成 新的滤波方法。第二，利用整数阶偏微分方程处理数字图像易于直接掌握和处 理诸如梯度、切线、曲率以及水平集等视觉上重要的几何特征，还能有效地模 拟诸如线性和非线性扩散以及信息传递机制那样的视觉上有意义的动力学过 程。第三，整数阶偏微分方程领域的独特分析理论为研究更好的数字图像处理 算法与有意义的理论结果，如解的存在性、唯一性等，提供了可能。特别地， 最值得注意的优点在于整数阶偏微分方程方法能够获得较好的图像质量，并具 有一定的稳定性。灵活多样的数值方案为图像处理方程的数值计算提供了较大 的帮助。在数字图像处理领域比较有效的整数阶偏微分方程的引入可以追溯到 上世纪80年代末期，在90年代得到了很长足的发展。该研究可以追溯到Nagao、 Rudin等关于图像光滑和图像增强以及Koenderink对于图像结构的探索。多个经 典的整数阶偏微分方程被应用到了数字图像处理当中，例如热传导方程、薛定 谔方程、对流传导方程等。目前，基于整数阶偏微分方程的图像处理技术取得 了一些较好的应用，例如法国宇航局已经采用了AMSS方法作为对航拍图像进 行图像增强的标准方法。整数阶偏微分方程方法本身是物理学的内容，在数字 图像处理中最早应用的可能要算各向同性介质中的热传导方程。若把灰度图像 看成是一个各向同性介质中的温度场，那么这个温度场的热传导过程恰好对应 着图像的高斯平滑过程，高斯滤波器方差参数与传导时间有关。但是由于高斯 平滑是各向同性的，所以对于边缘的破坏作用很大，其应用也受到限制。1987 年，Kass等利用图像边缘所需要的内部外部约束定义了一个表征轮廓曲线优劣 的能量函数，其中内部约束主要考虑轮廓的光滑性和曲率，外部能量表示图像 边缘轮廓的吸引。通过优化(最小化)这个能量函数，初始给定的轮廓可以收 敛到邻近的图像边缘上。这种方法的物理意义明确，但是由于其考虑的对象(轮 廓)是[]²的一维目标(假设是二维图像中的轮廓，若考虑三维图像，如三维医 学图像，那么这个轮廓对应的是[]³中的一个二维曲面)，它的描述方式和离散 化均受到了一定的限制，并且其描述方式直接限制了轮廓曲线的拓扑变化，如 分裂、合并等。1989年，Mumford和Shah提出了图像分割的变分模型。1992 年，Chan和Vese利用模式识别中的类内距离最小的思想构造了无边缘的活动轮 廓模型，之后Yezzi等同样利用类间距离最大的思想构造了一种新的活动轮廓模 型。1995年，Osher等提出用水平集去描述一个与曲率有关的波前传播过程。这 类方法的本质是将图像轮廓看成是一个二维函数的零水平集，那么通过研究这 个二维函数的变化行为，就可以知道轮廓的变化方式。同时由于这个被研究的 对象是一个二维函数，它在[]²中很容易描述和求解(相对于一维对象而言)，并 且一维轮廓不是直接求解的对象，所以通过二维函数的变化，使得轮廓的分裂、 合并等拓扑变化的处理变得相对容易。自上世纪90年代后期起，整数阶偏微分 方程开始应用到数字图像修复，即填充数字图像中丢失的部分、或移除数字图 像中的障碍物等，以使得结果图像看起来像是真实的，它是图像编辑领域的一 个很难的任务。基于整数阶偏微分方程的图像修复有两大方向，UCLA的Chan 和Shen等利用能量优化来处理这个问题，主要是对结构图像边缘的一些性质(如 简单性、曲率小等)作假设，然后构造相应的能量函数来描述，通过整数阶变 分法来转化成整数阶偏微分方程进行求解；而以Bertalmio为代表的另一流派则 直接考虑图像中某些性质的扩散过程，直接给出整数阶偏微分方程进行演化求 偏微分方程解。这两类的方法都取得了较大的成功。另外在图像编辑领域， Poisson方程也在图像的无缝粘贴上占有主导地位。

在基于整数阶偏微分方程的图像处理中，图像去噪是其最重要的研究内容 之一。基于整数阶偏微分方程的图像去噪分为两类：基于非线性扩散的方法和 基于能量范函最小化的变分法。与之对应的两种基本模型是：由Perona和Malik 提出的各项异性扩散(PM)模型以及Rudin，Osher和Fatemi提出的全变分(ROF) 模型。PM模型使用热能的扩散过程来模拟图像的去噪过程，图像去噪的结果 就是热能扩散达到平衡时的状态。用全变分来描述上述热能，就是ROF模型。 在此基础之上，有学者分别将PM模型和ROF模型推广到彩色图像处理之中。 有学者研究了模型中的参数选择，以及如何计算迭代求解过程的最优停止点。 Rudin等人提出一种可变时间步长方法来解Euler-Lagrange方程。C.R.Vogel和 M.E.Oman用不动点迭代方法来提高ROF模型的稳定性。D.C.Dobson和C.R. Vogel修改全变分形式来保证ROF模型数值计算的收敛性。A.Chambolle提出一 种基于对偶公式的快速算法。J.Darbon和M.Sigelle利用水平集方法将原始问 题分解为相互独立的马尔科夫随机场的优化问题，通过重建得到全局最优解。 有学者提出一种迭代加权范数来求解全变分以提高计算效率。F.Catte等将原图 像先经过一次高斯平滑，使PM模型具有适定性。PM模型和ROF模型都具有 容易产生对比信息丢失，纹理信息丢失和阶梯效应等显著缺点。针对这些缺点， 人们提出了许多改进模型。为了保持对比信息和纹理信息，有学者使用L¹范数 取代L²范数。S.Osher等提出一种迭代正则化方法。G.Gilboa，Y.Y.Zeevi和N. Sochen提出一种随空间变化的自适应数值保真项的方法。S.Esedoglu和S.Osher 提出一种保持特定边缘的方向信息；为了消除阶梯效应，P.Blomgren提出一种 全变分项随梯度变化的模型。有学者还将高阶导数引入能量范函中，或将高阶 导数和原始ROF模型进行结合，或提出两阶段去噪等改进方法。上述基于整数 阶偏微分方程的图像去噪改进方法，对于保持图像的对比信息和边缘信息，以 及消除阶梯效应取得了一定的效果。

然而不幸的是，当我们直接将传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方 法应用于纹理图像去噪时，一般很难取得较好的处理效果。因为，一方面，传 统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法在本质上是基于整数阶微积分运 算。它很难较好地处理一些非线性、非因果、非最小相位系统、非高斯、非平 稳、非整数维(分形)信号和非白色的加性噪声等。如果我们直接将基于整数 阶偏微分方程的图像去噪方法应用于纹理图像去噪时，会存在如下局限性：第 一，整数阶偏微分方程仅根据局部信息处理图像，因此不能保持周期性的纹理 特征，也不能恢复图像全局特征；第二，基于整数阶变分原理的整数阶偏微分 方程模型，通过优化能量泛函实现图像处理。能量泛函实现的是局部邻域内的 优化，因此处理后图像中存在块状效应；第三，仅包含前向或后向扩散的整数 阶偏微分方程处理能力有限，而双向扩散的方程在扩散过程中会出现两个方向 扩散信息抵消的现象，影响最终处理结果。另一方面，对于富含复杂纹理细节 信息的纹理图像而言，图像的纹理细节信息对其判读的准确性显得极具价值。 纹理图像去噪方法具有对比不变、纹理特征不变等特殊要求。由于常数或直流 分量的整数阶微分值为零，细微波动的交流分量的整数阶微分值经过特定阈值 限流后，其值亦为零，所以整数阶微分运算会对图像复杂纹理细节信息造成极 大损失。当传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法直接应用于纹理图像 去噪时，在低分辨率条件下，由于原始图像中的纹理细节信息本来就不够丰富 和清楚，其处理结果还能够被勉强接受；然而，当分辨率逐渐增大，其处理结 果图像中的复杂纹理细节信息将会被极大损失，致使我们很难对处理结果图像 的纹理细节进行准确判读。因此，对于富含复杂纹理细节信息的纹理图像去噪 而言，为了在去噪的同时更为有效地保持和利用复杂纹理细节信息，这就迫切 要求我们提出一类能够分数阶、非线性、多尺度地处理图像复杂纹理细节特征 的基于分数阶偏微分方程的纹理图像去噪方法。

发明内容

本发明所提出的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器是基于一 种特殊分数阶发展方程去噪算法来实现对纹理图像的分数阶、非线性、多尺度、 高精度去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁、v₂和v₃不是传统的整数阶， 而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数，且v₃≠1，2，3。见图1， 该滤波器是采用缓存器2、差值平方器一3、-v₃次方幂方器4、乘法器一5、λⁿ 发生器11、发生器10、乘法器二8、乘法器三9和加法器一6以级联方 式构成的。该滤波器具有在去除纹理图像噪声的同时，既能尽量保留平滑区域中 的低频轮廓，同时又能非线性保留灰度值跃变幅度相对较大的高频边缘，而且 还能非线性保留灰度值跃变幅度变化相对不大的纹理细节的显著优点。该滤波 器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行去噪的应用场合。

见图1，为了清楚说明本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤 波器的电路构成，有必要先对该基于分数阶偏微分方程的适于纹理图像去噪的 高精度滤波器的数学公式推导和数值运算规则进行如下简要说明：

众所周知，分形数学理论产生了测度观的转变，分形几何否定了牛顿一莱 布尼兹导数的存在性。以Hausdorff测度为基础的分形理论，虽然历经了90余 年的研究至今仍然还是一种很不完善的数学理论。Hausdorff测度下的微积分数 学理论的构造至今尚未能完成。目前发展比较成熟的是在欧氏测度下定义的分 数阶微积分，它在数学上要求必须使用欧氏测度。在欧氏测度下，分数阶微积 分最常用的是Grümwald-Letnikov定义和Riemann-Liouville定义两种。

Grümwald-Letnikov定义信号s(x)的v阶微积分为 $D_{G-L}^{v}s\left(x\right)=\frac{d^v}{{\left[d(x-a)\right]}^v}s\left(x\right){|}_{G-L}=\underset{N\to \infty }{\lim }\left\{\frac{{\left(\frac{x-a}{N}\right)}^{-v}}{\Gamma (-v)}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\frac{\Gamma (k-v)}{\Gamma (k+1)}s(x-k\left(\frac{x-a}{N}\right))\right\}.$其中，信号 s(x)的持续期为[a，x]，v为任意实数(包括分数)，表示基于 Grümwald-Letnikov定义的分数阶微分算子，Γ为Gamma函数。由分数阶微积 分的Grimwald-Letnikov定义式可知，Grümwald-Letnikov定义在欧氏测度下将 整数阶微积分的整数步长推广到分数步长，从而将微积分的整数阶推广到分数 阶。分数阶微积分的Griirnwald-Letnikov定义的计算简便易行，它仅需要与信号 s(x)自身相关的的离散采样值，而不需要信号s(x)的导数与积分 值。Riemann-Liouville定义信号s(x)的v阶积分(vπ0)为 $D_{R-L}^{v}s\left(x\right)=\frac{d^v}{{\left[d(x-a)\right]}^v}s\left(x\right){|}_{R-L}=\frac{1}{\Gamma (-v)}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-\eta )}^{-v-1}s\left(\eta \right)\mathrm{d\eta }=\frac{-1}{\Gamma (-v)}\underset{a}{\overset{x}{\int }}s\left(\eta \right)d{(x-\eta )}^{-v},\mathrm{v\pi }0.$其中， 表示基于Riemann-Liouville定义的分数阶微分算子。对于信号s(x)的v阶 微分(v≥0)，n满足n-l＜v≤n。于是由Riemann-Liouville积分定义式，本发 明可推导出信号s(x)的v阶微分的Riemann-Liouville定义为 $D_{R-L}^{y}s\left(x\right)=\frac{d^v}{{\left[d(x-a)\right]}^v}s\left(x\right){|}_{R-L}=\frac{d^n}{{\mathrm{dx}}^n}\frac{d^{v-n}}{{\left[d(x-a)\right]}^{v-n}}s\left(x\right){|}_{R-L}=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}\frac{{(x-a)}^{k-v}{s}^{\left(k\right)}\left(a\right)}{\Gamma (k-v+1)}+\frac{1}{\Gamma (n-v)}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{s^{\left(n\right)}\left(\eta \right)}{{(x-\eta )}^{v-n+1}}\mathrm{d\eta },0\le \mathrm{v\pi n}.$由分数阶微分的Riemann-Liouville定义式，本发明可以推导信号s(x)的Fourier 变换为$\mathrm{FT}\left[D^{v}s\left(x\right)\right]={\left(\mathrm{i\omega }\right)}^v\mathrm{FT}\left[s\left(x\right)\right]-\underset{k=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{\left(\mathrm{i\omega }\right)}^k\frac{d^{v-1-k}}{d{x}^{v-1-k}}s\left(0\right).$其中，i是虚数单位，ω是 数字频率。当信号s(x)是因果信号时，上式可简化为FT[D^vs(x)]＝(iω)^vFT[s(x)]。

本发明要构造适于纹理图像去噪的分数阶偏微分方程，就必须构造分数阶 Euler-Lagrange方程，而构造分数阶Green公式是构造分数阶Euler-Lagrange方 程的必要前提。因此，本发明必须首先将传统的整数阶Green公式推广到分数 阶，推导并构造分数阶Green公式。

见图2，本发明令Ω是以分段光滑曲线c为边界的平面单连通区域，可微积 函数P(x，y)和Q(x，y)在Ω和c上连续，并存在对x和y的分数阶连续偏导数；令D¹表示1阶微分算子，D^v表示v阶分数阶微分算子，I¹＝D^-1表示1阶积分算子， I^v＝D^-v表示v＞0阶分数阶积分算子，表示在平面Ω上的v阶分数阶曲面积 分算子(将分数阶积分的Riemann-Liouville定义式从一维推广到二维)，表示在曲线c的AC₁B段上沿方向的v阶分数阶曲线积分算子，表示在闭 曲线c上沿逆时针方向的v阶分数阶闭曲线积分算子；令区域Ω的边界c是由两 曲线y＝φ₁(x)，y＝φ₂(x)，a≤x≤b或x＝ψ₁(y)，x＝ψ₂(y)，c≤y≤d所围成。

对于可微积函数P(x，y)而言，当$P-D^{{-v}_1}{D}^{v_1}P\ne 0,$则$D^{v_1}{D}^{v_2}P=D^{v_1+v_2}P-D^{v_1+v_2}(P-D^{{-v}_1}{D}^{v_1}P).$于是，$I_x^{v_2}{I}_y^{v_2}{D}_y^{v_1}P(x,y)=I_x^{v_2}\{D_y^{v_1-v_2}P(x,y)-D_y^{v_1-v_2}[P(x,y)-D_y^{-v_1}{D}_y^{v_1}P(x,y)\left]\right\},$本发明可以推导得 $\underset{\Omega }{I_x^{v_2}{I}_y^{v_2}}{D}_y^{v_1}P(x,y)={}_a{}^{b}I_{x{\phi }_1\left(x\right)}^{v_2{\phi }_2\left(x\right)}{I}_y^{v_2}{D}_y^{v_1}P(x,y)={}_a{}^{b}I_x^{v_2>}\{D_y^{v_1-v_2}P(x,y)-D_y^{v_1-v_2}[P(x,y)-D_y^{-v_1}{D}_y^{v_1}P(x,y)\left]\right\}{|}_{{\phi }_1\left(x\right)}^{{\phi }_2\left(x\right)}$$=-\underset{C\left({\mathrm{BC}}_{2}A\right)}{I_x^{v_2}}\{D_y^{v_1-v_2}P(x,y)-D_y^{v_1-v_2}[P(x,y)-D_y^{-v_1}{D}_y^{v_1}P(x,y)\left]\right\}-\underset{C\left(A{C}_{1}B\right)}{I_x^{v_2}}\{D_y^{v_1-v_2}P(x,y)-D_y^{v_1-v_2}[P(x,y)-D_y^{{-v}_1}{D}_y^{v_1}P(x,y)\left]\right\}$$=-\underset{C-}{I_x^{v_2}}\{D_y^{v_1-v_2}P(x,y)-D_y^{v_1-v_2}[P(x,y)-D_y^{-v_1}{D}_y^{v_1}P(x,y)\left]\right\}$

同理可得$\underset{\Omega }{I_x^{v_2}{I}_y^{v_2}}{D}_x^{v_1}Q(x,y)=\underset{C-}{I_y^{v_2}}\{D_x^{v_1-v_2}Q(x,y)-D_x^{v_1-v_2}[Q(x,y)-D_x^{-v_1}{D}_x^{v_1}Q(x,y)\left]\right\}.$由上述两式，本发 明可以推导得分数阶Green公式为 $\underset{\Omega }{I_x^{v_2}{I}_y^{v_2}}(D_x^{v_1}Q(x,y)-D_y^{v_1}P(x,y))=\underset{C-}{I_x^{v_2}}\{D_y^{v_1-v_2}P(x,y)-D_y^{v_1-v_2}[P(x,y)-D_y^{-v_1}{D}_y^{v_1}P(x,y)\left]\right\}+\underset{C-}{I_y^{v_2}}\{D_x^{v_1-v_2}Q(x,y)-D_x^{v_1-v_2}[Q(x,y)-D_x^{-v_1}{D}_x^{v_1}Q(x,y)\left]\right\}.$特别地，当和互逆时(该条件要求较高，一般很难满足)，即则由上式可得分数阶Green公式在特定条件下的简化表出为 $\underset{\Omega }{I_x^{v_2}{I}_y^{v_2}}(D_x^{v_1}Q(x,y)-D_y^{v_1}P(x,y))=\underset{C-}{I_x^{v_2}}{D}_y^{v_1-v_2}P(x,y)+\underset{C-}{I_y^{v_2}}{D}_x^{v_1-v_2}Q(x,y).$由上式可见，当v₁＝v₂＝1时， 可推得$\underset{\Omega }{I_x^1{I}_y^1}(D_x^{1}Q(x,y)-D_y^{1}P(x,y))=\underset{C-}{I_x^1}P(x,y)+\underset{C-}{I_y^1}Q(x,y),$传统的整数阶Green公式只是分 数阶Green公式的特例；当v₁＝v₂＝v时，可推得 这是适用范围广泛的分数阶Green公式。

基于上述推导所得的分数阶Green公式，本发明可以进一步推导针对二维 图像处理的分数阶泛Euler-Lagrange方程。

见图3，本发明令二维空间中的可微积数量函数为u(x，y)和可微积矢量函 数为v阶分数阶微分算子$D^v=i\frac{{\partial }^v}{{\partial x}^v}+j\frac{{\partial }^v}{{\partial y}^v}=i{D}_x^v+j{D}_y^v=(D_x^v,D_y^v),$D^v是 一线性算子(当v＝0时，D⁰表示既不微分也不积分，是一个恒等算子)，其中i和 j分别表示在x和y方向上的单位矢量。一般而言，二维图像区域Ω是一个长 方形的单连通区域，因此Ω的分段光滑边界c是一个闭合的长方形曲线。

由分数阶积分的Riemann-Liouville定义式可得$I_y^{v}s(x,y)=\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}\underset{a_y}{\overset{y}{\int }}{(y-\xi )}^{v-1}s(x,\xi )\mathrm{d\xi }$且$I_x^v{I}_y^{v}s(x,y)=\frac{1}{{\Gamma }^2\left(v\right)}\underset{a_x}{\overset{x}{\int }}\underset{a_y}{\overset{y}{\int }}{(x-\eta )}^{v-1}{(y-\xi )}^{v-1}s(\eta ,\xi )\mathrm{d\eta d\xi }.$于是由上 述分数阶Green公式可推得 恒成立。由于$\underset{m=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{m}{\Sigma }}\equiv \underset{n=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\underset{m=n}{\overset{\infty }{\Sigma }}$且$\left(\begin{array}{c}v\\ r+n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r+n\\ n\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{c}v\\ n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v-n\\ r\end{array}\right),$于是本发明可以推导得 由分数阶微积分的齐次性质进而可得 于是，本发明可以推导得 其中，符号·表 示内积。与分数阶散度算子的定义类似，本发明令v 阶分数阶类微分算子$P^v=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}v\\ n\end{array}\right)[i\frac{\left(D_x^{v-n}u\right)}{u}{D}_x^n+j\frac{\left(D_y^{v-n}u\right)}{u}{D}_y^n],$v阶分数阶类散度算子 divP^v和P^v都是线性算子，于是根据希尔伯特伴随算 子理论，本发明可以推导得 其中，表示v₂阶分数阶内积的积分形式，(D^v)^*表示D^v的v阶分数阶希尔伯 特伴随算子。由上式本发明可得(D^v)^*＝-divP^v。由上式可见，分数阶希尔伯特伴 随算子(D^v)^*是一线性算子。当v₁＝v₂＝1时，本发明可以推导得 其中，〈，〉¹表示一阶内 积的积分形式，表示一阶散度算子，(D¹)^*表示D¹的一阶希 尔伯特伴随算子。针对数字图像而言，本发明可推导得(D¹)^*＝-div¹。于是可知， 一阶希尔伯特伴随算子只是分数阶希尔伯特伴随算子的特例。当 时，于是可得在上式中，由于x 方向和y方向的正交性，对于任 意二维数量函数u(测试函数)而言，相应的和具有随机性，由变 分基本引理，要使上式成立，只需由于n为1→∞的正整数， 欲使仅需使上式的等价式为 于是要使上 式成立，当且仅当成立。 即是与相对应的分数阶 Euler-Lagrange方程。

进一步地，如果是矢量函数的数量函数；是可微积矢量函数 的数量函数。同理，当时，本发明可 得

于是要使上式成立，当且仅当成立。即是与 相对应的分数阶Euler-Lagrange方程。

由于分数阶微积分对于所有的v均存在的原因，所以分数阶 Euler-Lagrange方程与分数阶面积分的积分阶次v₂无关，因此本发明在下 面构造适于纹理图像去噪的分数阶偏微分方程模型的能量泛函时均不采用分数 阶面积分而只采用一阶面积分的形式。

如下所述，本发明采用一阶极值来构造基于分数阶全变差的能量泛函，从 而构造一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器。本发明令含有小参数 β的曲面族s+(β-1)ξ，当β＝1时为v₃阶极值曲面s。首先，本发明令 ${\Psi }_1\left(\beta \right)=\underset{\Omega }{I_x^1{I}_y^1}\left[f\left({\left|\right|\stackrel{\rho }{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right)\right]=\underset{\Omega }{\int \int }f\left({\left|\right|\stackrel{\rho }{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right)\mathrm{dxdy}.$同时，本发明令向量 $\overrightarrow{\phi }[D^{v_1}s,(\beta -1)D^{v_1}\xi ]=(\beta -1)D^{v_1}\xi -\frac{2\Gamma (2-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}{D}^{v_1}s,$并定义向量的范数为 $\left|\right|\overrightarrow{\phi }\left|\right|=\sqrt{\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}{\left(D^{v_1}s\right)}^2-\frac{4(\beta -1)\Gamma (2-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}{D}^{v_1}s·D^{v_1}\xi +{(\beta -1)}^2{\left(D^{v_1}\xi \right)}^2}=\sqrt{{\left(\overrightarrow{\phi }\right)}^2+C},$其中$C=\frac{4\Gamma (2-v_3)\Gamma (3-v_3)-{\Gamma }^2(3-v_3)-4{\Gamma }^2(2-v_3)}{{\Gamma }^2(3-v_3)}{\left(D^{v_1}s\right)}^2.$其中，符号·表示内积。对于向 量和而言，${\left(\overrightarrow{\phi }\right)}^2={\left|\overrightarrow{\phi }\right|}^2={\left(\sqrt{{\left(\overrightarrow{\phi }\right)}^2}\right)}^2=\overrightarrow{\phi }·\overrightarrow{\phi },$${\left(D^{v_1}s\right)}^2={\left|D^{v_1}s\right|}^2={\left(\sqrt{{\left(D^{v_1}s\right)}^2}\right)}^2=D^{v_1}s·D^{v_1}s$且${\left(D^{v_1}\xi \right)}^2={\left|D^{v_1}\xi \right|}^2={\left(\sqrt{{\left(D^{v_1}\xi \right)}^2}\right)}^2=D^{v_1}\xi ·D^{v_1}\xi .$进一步地，本发明令求解Ψ₂(β)的极小值的过程 即是求解噪声和无噪信号的相似性最小的过程。Ψ₂(β)在去噪过程中起非线性 保真的作用，λ为正则化参数。于是定义在曲面族s+(β-1)ξ上基于分数阶全变 差的分数阶能量泛函为 $\Psi \left(\beta \right)={\Psi }_1\left(\beta \right)+{\Psi }_2\left(\beta \right)=I_x^1\underset{\Omega }{I_y^1}[f\left({\left|\right|\stackrel{\rho }{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right)+\lambda [(s+(\beta -1)\xi -s_0\left](s-s_0)\right]=\underset{\Omega }{\int \int }[f\left({\left|\right|\stackrel{\rho }{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right)+\lambda [s+(\beta -1)\xi -s_0\left](s-s_0)\right]\mathrm{dxdy}.$于是，可推导得$D_{\beta }^{v_3}{\Psi }_1\left(\beta \right){|}_{\beta =1}=\frac{{\partial }^{v_3}}{\partial {\beta }^{v_3}}\underset{\Omega }{\int \int }f\left({\left|\right|\overrightarrow{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right)\mathrm{dxdy}{|}_{\beta =1}=\underset{\Omega }{\int \int }\frac{{\partial }^{v_3}}{\partial {\beta }^{v_3}}f\left({\left|\right|\overrightarrow{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right)\mathrm{dxdy}{|}_{\beta =1}=0.$与基 于一阶极值的传统一阶变分法不同，上式是Ψ₁(β)关于β的v₃阶分数阶极值， 其目的在于利用图像分数阶微积分的特殊性质(既能尽量保留图像平滑区域中 的低频轮廓特征，同时又能分数阶且多尺度增强图像中灰度值跃变幅度相对较 大的高频边缘特征，而且还能分数阶且多尺度增强图像中灰度值跃变幅度和频 率变化相对不大的高频纹理细节特征)，使纹理图像在去噪的同时尽量分数阶非 线性地保留其复杂纹理细节特征。进而，可推导得 $\underset{\Omega }{\int \int }\frac{{\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2}{\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2}}{\Gamma (1-v_3)}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{{(-1)}^n\Gamma (n-v_3)}{\Gamma (-v_3)\Gamma (n-v_3+1)}\frac{D_{\beta }^n\left({\left|\right|\overrightarrow{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right){|}_{\beta =1}}{n!}\mathrm{dxdy}=0.$其 中，为了保证始终为正数，以使有意义， 本发明取其绝对值当n取奇数(n＝2k+1，k＝0，1，2，3Λ)与 当n取偶数(n＝2k，k＝1，2，3Λ)时，具有不同的表达式。于是， 本发明可以分别推导得 $D_{\beta }^n\left({\left|\right|\overrightarrow{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right){|}_{\beta =1}^{n=2k+1}=\frac{-2\Gamma (2-v_3)\underset{\tau =1}{\overset{n}{\Pi }}(v_2-\tau +1)}{\Gamma (3-v_3)}{\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-n-1}{\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-n-1}{\left|D^{v_1}\xi \right|}^{n-1}\left(D^{v_1}\xi \right)·\left(D^{v_1}s\right)$和$D_{\beta }^n\left({\left|\right|\overrightarrow{\phi }\left|\right|}^{v_2}\right){|}_{\beta =1}^{n=2k}=\underset{\tau =1}{\overset{n}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-n}{\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-n}{\left|D^{v_1}\xi \right|}^n.$进一步 地，本发明可以推导得 $\underset{\Omega }{\int \int }\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right|D^{v_1}s\left|\right]}^{v_2-2k-2}{\left|D^{v_1}\xi \right|}^{2k}}{\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)\left(2k\right)!}\left(D^{v_1}s\right)·D^{v_1}\left(\begin{array}{c}\frac{\Gamma (2k-v_3)[4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)]}{\Gamma (2k-v_3+1)}\text{s}\\ +\frac{2(v_2-2k)\Gamma (2k-v_3+1)\Gamma (2-v_3)}{(2k+1)\Gamma (2k-v_3+2)}\xi \end{array}\right)\mathrm{dxdy}=0.$其中，本发明令对于任意二维数量函数ξ(测试函数)而言， 相应的具有随机性，于是$D^{v_1}[\frac{\Gamma (2k-v_3)[4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)]}{\Gamma (2k-v_3+1)}s+\frac{2(v_2-2k)\Gamma (2k-v_3+1)\Gamma (2-v_3)}{(2k+1)\Gamma (2k-v_3+2)}\xi ]$ 亦具有随机性。于是，本发明可以推导相应的分数阶泛Euler-Lagrange方程为 $\frac{\Gamma (1-v_1)}{\Gamma (-v_1)\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}s\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}s\right)\end{array}\right)=0.$其中，于是，本发明取v＝v₃≠1，2，3，可推导得 $\frac{{\partial }^{v_3}s}{{\partial t}^{v_3}}=\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma (-v_1)\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}s\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}s\right)\end{array}\right)\frac{\lambda s_0}{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}.$其中，是按照分数阶差分方法实现，仅收敛到唯一v₃阶 分数阶极值点。于是，本发明可推导得 $\lambda \left(t\right)=\frac{-\Gamma (1-v_1)\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^2\Gamma (-v_1)\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)s_0}\underset{\Omega }{\int \int }\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}s\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}s\right)\end{array}\right){(s-s_0)}^2\mathrm{dxdy}.$式$\frac{{\partial }^{v_3}s}{\partial t^{v_3}}=\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma (-v_1)\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}s\right)\\ +D_y^1\left({{\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}}^{}{D}_y^{v_1}s\right)\end{array}\right)\frac{\lambda s_0}{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}$和$\lambda \left(t\right)=\frac{-\Gamma (1-v_1)\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^2\Gamma (-v_1)\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)s_0}\underset{\Omega }{\int \int }\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}s\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}s\right)\end{array}\right){(s-s_0)}^2\mathrm{dxdy}$所表示的分数阶发展方程去噪模型即为本发明的一种基于分数阶发展方程的纹 理图像去噪滤波器的数学模型。

为了使上述分数阶发展方程去噪模型能够完全滤除在信号的甚低频和直流 部分残留的微弱噪声，本发明在数值迭代实现时，还需同时对信号的甚低频和 直流部分进行低通滤波。另外，上述分数阶发展方程去噪模型通过在分子中增 加以及在分母中增加Γ(3-v₃)的形式较大增强了分数阶微 分阶次v₃对去噪的非线性调节作用。另外，当v₃＝0时，上述分数阶发展方程去 噪模型即为传统的位势方程(椭圆型方程)；当v₃＝1时，上述分数阶发展方程去 噪模型即为传统的热传导方程(抛物型方程)；当v₃＝2时，上述分数阶发展方 程去噪模型即为传统的波动方程(双曲型方程)；当0＜v₃＜1时，上述分数阶发 展方程去噪模型即为传统的位势方程和传统的热传导方程之间的连续内插；当 1＜v₃＜2时，上述分数阶发展方程去噪模型即为传统的热传导方程和波动方程之 间的连续内插。可见，在数学和物理意义上，上述分数阶发展方程去噪模型将 传统的基于偏微分方程的图像处理从基于传统的热传导方程的各向异性扩散的 普遍基本处理方法推广到了更广阔的领域。

进一步地，本发明需要数值实现上述一种基于分数阶发展方程的纹理图像 去噪滤波器的数学模型。第一，本发明需要数值实现二维数字图像在x轴和y 轴方向上的分数阶微分。对于分数阶微积分的Grümwald-Letnikov定义式，当N 足够的大时，可以去掉极限符号。为了提高收敛速度和收敛精度，本发明在 Grümwald-Letnikov定义式中引入信号s(x)在非节点处的信号值，即 $\frac{d^v}{{\mathrm{dx}}^v}s\left(x\right){|}_{G-L}\cong \frac{x^{-v}{N}^v}{\Gamma (-v)}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\frac{\Gamma (k-v)}{\Gamma (k+1)}s(x+\frac{\mathrm{vx}}{2N}-\frac{\mathrm{kx}}{N}).$于是当v≠1时，应用拉格朗日三点插 值公式对信号s(x)进行分数插值，可分别构造出数字图像在x轴和y轴的方向 上的分数阶微分算子。对数字灰度图像的而言，分数阶微分算子的数值运算规 则采用算子卷积的空域滤波方案。本发明选取在x轴和y轴方向上的模值最大 的分数阶偏微分值作为该像素点的分数阶微分值。第二，本发明需要数值实现 二维数字图像在x轴和y轴方向上的1阶微分。为了保持数值计算的稳定性， 本发明采用$D_x^{1}s(x,y)=\frac{2[s(x+1,y)-s(x-1,y)]+s(x+1,y+1)-s(x-1,y+1)+s(x+1,y-1)-s(x-1,y-1)}{4}$和 $D_y^{1}s(x,y)=\frac{2[s(x,y+1)-s(x,y-1)]+s(x+1,y+1)-s(x+1,y-1)+s(x-1,y+1)-s(x-1,y-1)}{4}$来近似一阶微 分。第三，本发明需要数值实现二维数字图像对于时间t的分数阶微分。若时间 等分间隔为Δt，即单位迭代时间间隔，n时刻为t_n＝nΔt，n＝0，1，Λ(t₀＝0表 示初始时刻)。本发明取单位迭代时间间隔Δt在(0，0.1]内取任意较小的正实数。 于是n时刻的数字图像为待去噪的原始图像为 s₀为理想的无噪声图像，它是一个恒定值，故 s₀(x，y，t₀)＝s₀(x，y，t_n)。于是，本发明可将二维数字图像对于时间t的分数阶微 分近似为$\frac{{\partial }^{v}s}{{\partial t}^v}={\mathrm{\Delta t}}^{-v}[s_{x,y}^{n+1}-s_{x,y}^n+\frac{2\mathrm{\mu \eta }}{\Gamma (3-v)}{(s_{x,y}^n-s_{x,y}^{v*})}^2{\left(s_{x,y}^n\right)}^{-v}],$when v≠1。其中，是 最佳去噪图像。另外，由于理想的无噪声图像s₀(x，y，t₀)事先不知道，但是每次数 值迭代的去噪中间结果都是对理想的无噪声图像s₀(x，y，t₀)一次逼近，即 故为了在数值迭代时尽量逼近s-s₀，本发明令 由于最佳去噪图像事先不知道，但是每次数值迭代的去噪 中间结果都是对的一次逼近，即故为了在数值迭代时尽量 逼近本发明令${(s_{x,y}^n-s_{x,y}^{v*})}^2\cong {(s_{x,y}^{n-1}-s_{x,y}^n)}^2.$同时为了简化计算， 本发明取μ＝0.005和η＝1，只取k＝0，1进行近似计算。于是，可以推导得式 $\frac{{\partial }^{v_3}s}{{\partial t}^{v_3}}=\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma (-v_1)\Gamma \left({-v}_3\right)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left(\right|D^{y_1}s{|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{y_1}s)\\ +D_y^1\left(\right|D^{y_1}s{|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{y_1}s)\end{array}\right)\frac{{\mathrm{\lambda s}}_0}{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}$和 $\lambda \left(t\right)\frac{-\Gamma (1-v_1)\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^2\Gamma \left({-v}_1\right)\Gamma \left({-v}_3\right)\Gamma (3-v_3)s_0}\underset{\Omega }{\int \int }\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{y_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{y_1}s\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{y_1}s\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{y_1}s\right)\end{array}\right){(s-s_0)}^2\mathrm{dxdy}$的 数值实现方程分别为 $s_{x,y}^{n+1}=Q\left(s_{x,y}^n\right){\mathrm{\Delta t}}^{v_3}-\frac{{\lambda }^n{\mathrm{\Delta t}}^{v_3}}{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{s}_{x,y}^n+s_{x,y}^n-\frac{2\mu }{\Gamma (3-v_3)}{(s_{x,y}^{n-1}-s_{x,y}^n)}^2{\left(s_{x,y}^n\right)}^{{-v}_3},$v₃≠1，2，3 和${\lambda }^n=\frac{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^{n^2}{s}_{x,y}^n}\underset{x,y}{\Sigma }Q\left(s_{x,y}^n\right){(s_{x,y}^0-s_{x,y}^n)}^2.$其中，$\underset{\tau =1}{\overset{n}{\Pi }}(v_2-\tau +1)\stackrel{n=0}{=}1,$$Q\left(s_{x,y}^n\right)=\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma \left({-v}_1\right)\Gamma \left({-v}_3\right)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{1}{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\end{array}\right).$其中，在数值迭代计算时，一方面，本发明不需要预先 获知或估计噪声的方差，而只需要令第一次数值迭代时的为一个较小的正 数。本发明取＝0.01。将带入${\lambda }^n=\frac{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^{n^2}{s}_{x,y}^n}\underset{x,y}{\Sigma }Q\left(s_{x,y}^n\right){(s_{x,y}^0-s_{x,y}^n)}^2$以启动数值迭代计算的过程，于是每一次迭代所得的都不一样，但每一都是对噪声真正方差的一次逼近；另一方面，在数值迭代计算的过程中，可能 出现的情况，为了使有意义，当时，本发明 取为了使有意义，当时，本发明取

基于上述对本发明所提出的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波 器的数学公式推导和数值运算规则的简要说明，下面具体说明该滤波器的电路 构成：

见图1，本发明所提出的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器是 基于一种特殊分数阶发展方程去噪算法来实现对纹理图像的分数阶、非线性、 多尺度、高精度去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁、v₂和v₃不是传统的 整数阶，而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数，且v₃≠1，2，3。 见图1，该滤波器是采用缓存器2、差值平方器一3、-v₃次方幂方器4、乘法器 一5、λⁿ发生器11、发生器10、乘法器二8、乘法器三9和加法器一6以 级联方式构成的。该滤波器具有在去除纹理图像噪声的同时，既能尽量保留平滑 区域中的低频轮廓，同时又能非线性保留灰度值跃变幅度相对较大的高频边缘， 而且还能非线性保留灰度值跃变幅度变化相对不大的纹理细节的显著优点。该 滤波器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行去噪的应用场合。

见图1，1是本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的输 入点，即第n次迭代的数字图像的输入点。缓存器2所起的作用是将本发明 的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的输出图像进行两个单 位迭代时间的缓存，从而得到第n-1次迭代的数字图像差值平方器一3 的E输入点是E点是权值的输入点。差值平方器一3完成的计算是 -v₃次方幂方器4完成的计算是乘法器一5的F输入 点是权值的输入点。乘法器一5完成的计算是 $-\frac{2\mu }{\Gamma (3-v_3)}{(s_{x,y}^{n-1}-s_{x,y}^n)}^2{\left(s_{x,y}^n\right)}^{{-v}_3}.$发生器10完成的计算是 $Q\left(s_{x,y}^n\right)=\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma \left({-v}_1\right)\Gamma \left({-v}_3\right)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{1}{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\end{array}\right).$λⁿ发生器11完成的计算是${\lambda }^n=\frac{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^{n^2}{s}_{x,y}^n}\underset{x,y}{\Sigma }P\left(s_{x,y}^n\right){(s_{x,y}^0-s_{x,y}^n)}^2.$乘法 器三9的H输入点是权值的输入点。乘法器三9完成的计算是乘法器二8的G输入点是权值的输入点。乘法器二8完成的计 算是加法器一6完成的计算是 $s_{x,y}^{n+1}=Q\left(s_{x,y}^n\right){\mathrm{\Delta t}}^{v_3}-\frac{{\lambda }^n{\mathrm{\Delta t}}^{v_3}}{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{s}_{x,y}^n+s_{x,y}^n-\frac{2\mu }{\Gamma (3-v_3)}{(s_{x,y}^{n-1}-s_{x,y}^n)}^2{\left(s_{x,y}^n\right)}^{{-v}_3},$v₃≠1，2，3。 其中，本发明要求阶次v₃满足v₃≠1，2，3。本发明的一种基于分数阶发展方 程的纹理图像去噪滤波器的输出点7完成的功能是输出第n+1次迭代的数字图 像

见图4，发生器10完成的计算是 $Q\left(s_{x,y}^n\right)=\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma \left({-v}_1\right)\Gamma \left({-v}_3\right)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{1}{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\end{array}\right).$差值平方器二12的I输入点是差值平方器二的权值的输入点，即第0次迭 代的原始数字图像的输入点。差值平方器二12完成的计算是发生器13完成的计算是乘法器四14完成的计算是 乘法器五15完成的计算是加法器一16完成 的计算是除法器17的J输入点是权值 Γ(1-v₃)Γ(2-v₃)的输入点。除法器17完成的计算是乘 法器六18完成的计算是${\lambda }^n=\frac{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}{{\sigma }^{n^2}{s}_{x,y}^n}\underset{x,y}{\Sigma }Q\left(s_{x,y}^n\right){(s_{x,y}^0-s_{x,y}^n)}^2.$λⁿ发生器 的输出点19完成的功能是输出λⁿ值。

见图5，微分器20完成的计算是在x轴方向上的v₁阶分数阶微分。微分器21完成的计算是在x轴方向上和y轴方向上同时进行v₁阶分数阶微分。 微分器22完成的计算是在y轴方向上的v₁阶分数阶微分。v₂-2k-2幂方 器23完成的计算是乘法器七24完成的计算是 乘法器八25完成的计算是微分器 26完成的计算是在x轴方向上的1阶微分。微分器27完成的计算是在y轴 方向上的1阶微分。加法器二28完成的计算是 $[D_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)+D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)].$乘法器九32的K输入点是 权值$\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}$的输入点。乘法器九32完成的计算 是$\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}[D_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)+D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)].$加法器31完成的计算是 $\underset{k=0}{\overset{1}{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}[D_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)+D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)].$乘法 器十30的L输入点是权值的输入点。乘法器十 30完成的计算是 $\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma \left({-v}_1\right)\Gamma \left({-v}_3\right)\Gamma (3-v_3)}\underset{k=0}{\overset{1}{\Sigma }}\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}\left(\begin{array}{c}{D}_x^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_x^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\\ +D_y^1\left({\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}^{v_2-2k-2}{D}_y^{v_1}{s}_{x,y}^n\right)\end{array}\right).$发生器的输出点29完成的功能是输出值。

见图6，差值平方器三33的M输入点是权值的输入点，即第0次迭代 的原始数字图像的输入点。差值平方器三33完成的计算是加法器二34完成的计算是发生器的输出点35完成的功能 是输出值。

下面结合附图和实例详细说明本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图 像去噪滤波器的新方案：

附图说明

图1是本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的示意图。

图2是单连通区域Ω及其光滑边界曲线C的示意图。

图3是二维单连通图像区域Ω及其分段光滑边界曲线C的示意图。

图4是λⁿ发生器的示意图。

图5是发生器的示意图。

图6是发生器的示意图。

其中，1是本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的输入 点，即第n次迭代的数字图像的输入点；2是缓存器；3是差值平方器一；4 是-v₃次方幂方器；5是乘法器一；6是加法器一；7是本发明的一种基于分数阶 发展方程的纹理图像去噪滤波器的输出点，即第n+1次迭代的数字图像的 输出点；8是乘法器二；9是乘法器三；10是发生器；11是λⁿ发生器； 12是差值平方器二；13是发生器；14是乘法器四；15是乘法器五；16是加法器一；17是除法器；18是乘法器六；19是λⁿ发生器的输出点，即λⁿ的输 出点；20是微分器；21是微分器；22是微分器；23是v₂-2k-2幂 方器；24是乘法器七；25是乘法器八；26是微分器；27是微分器；28 是加法器二；29是发生器的输出点，即的输出点；30是乘法器十； 31是加法器；32是乘法器九；33是差值平方器三；34是加法器二； 35是发生器的输出点，即的输出点。另外，3、12和33是功能和参数 相同的差值平方器；5、8、9、14、15、18、24、25、30和32是功能和参数相 同的乘法器；6和28是功能和参数相同的加法器；16和34是功能和参数相同 的加法器。

其中，A点是分段光滑曲线C上一任意点；B点是分段光滑曲线C上一任 意点；C是分段光滑曲线；C₁点是分段光滑曲线C上一任意点；C₂点是分段光 滑曲线C上一任意点；a点是A点在x轴上的投影点；b点是B点在x轴上的 投影点；c点是C₁点在y轴上的投影点；d点是C₂点在y轴上的投影点；Ω是 以分段光滑曲线c为边界的平面单连通区域；E点是权值的输入点；F点是 权值的输入点；G点是权值的输入点；H点是权值的输入点；I点是差值平方器二的权值的输入点；J点是权值 Γ(1-v₃)Γ(2-v₃)的输入点；K点是权值$\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}$的输入点；L点是权值的输入点；M点是差值平 方器三的权值的输入点。

具体实施方式

现举例介绍如下：

见图1、图4、图5和图6，在工程实际应用中，本发明的一种基于分数阶 发展方程的纹理图像去噪滤波器涉及的分数阶微积分的阶次v₁、v₂和v₃不是传统 的整数阶，而是非整数阶，一般取分数或有理小数。另外，由上述说明可知 。如果本发明取阶次v₁＝2.25，v₂＝2.5，v₃＝0.25，取单位迭代 时间间隔Δt＝0.01，方差初始值，取参数μ＝0.005，于是本发明可 以得到本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的具体电路参 数。见图1，乘法器一5的F输入点的输入权值为乘法器二8的G输入点是输入权值为 $\frac{-{\mathrm{\Delta t}}^{v_3}}{\Gamma (1-v_3)\Gamma (2-v_3)}=\frac{-{\left(0.01\right)}^{0.25}}{\Gamma \left(0.75\right)\Gamma \left(1.75\right)}=-0.2808.$乘法器三9的H输入点的输入权 值为。见图4，除法器17的J输入点的输入权值为 Γ(1-v₃)Γ(2-v₃)＝Γ(0.75)Γ(1.75)＝1.1262。见图5，乘法器九32的K输入点的 输入权值为$\frac{\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(v_2-\tau +1){\left[\sqrt{\left|\frac{4\Gamma (2-v_3)-\Gamma (3-v_3)}{\Gamma (3-v_3)}\right|}\right]}^{v_2-2k-2}}{\left(2k\right)!}=\frac{{1.1339}^{0.5-2k}\underset{\tau =1}{\overset{2k}{\Pi }}(3.5-\tau )}{\left(2k\right)!}.$乘法 器十30的L输入点的输入权值为 $\frac{-\Gamma (1-v_1)}{\Gamma (-v_1)\Gamma (-v_3)\Gamma (3-v_3)}=\frac{-\Gamma (-1.25)}{\Gamma (-2.25)\Gamma (-0.25)\Gamma \left(2.75\right)}=-0.2854.$于是， 如图1、图4、图5和图6所示，按照本说明书的发明内容中所详细说明的本发 明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的级联电路结构及其具体 电路参数，就可以方便地构造出该基于分数阶偏微分方程的适于纹理图像去噪 的高精度滤波器的具体电路。在不影响准确表述的前提下，为了更加清晰明了 地描述本发明的一种基于分数阶发展方程的纹理图像去噪滤波器的具体电路， 图1、图4、图5和图6未画出其中的时序控制电路及其被触发产生的时序控制 信号。