非确定性倒向随机微分方程的多水平蒙特卡罗解法

摘要

多水平蒙特卡罗方法作为蒙特卡罗方法的一种改进由Stefan Heinrich[1]和Michael Giles[2]提出.针对需要进行时间或者空间划分的一类问题，与传统的蒙特卡罗方法相比，多水平蒙特卡罗方法可以在保持误差阶的情况下降低运算复杂度.
　　Weidong Zhao，Lifeng Chen和Shige Peng[3]在2006年给出了针对如下形式倒向随机微分方程:{-dyt=f(t，yt，zt)dt-ztdWt，t∈[0，T），(0.1)yt=ψ(WT).的数值解法—θ-格式.该方法利用倒向随机微分方程自身性质进行数值求解，实现了误差收敛率的提高.
　　若上述形式的倒向随机微分方程(0.1)其终端条件yT中还包含一个与布朗运动独立的随机变量ω,则带有随机变量ω的非确定性倒向随机微分方程,其形式为{-dyt=f(t，yt，zt，ω)dt-ztdWt，t∈[0，T），(0.2)yT=ψ(WT，ω).当t=0时，W0=0，y0(ω)是一个随机变量.
　　对此类问题我们所关注的是t=0时y0(ω）的期望[y0(ω）].近似期望一般采用蒙特卡罗方法，而在本文中我们将采用多水平蒙特卡罗方法.
　　数值实验结果表明，对此类问题采用多水平蒙特卡罗方法能够在保持误差阶的情况下降低运算复杂度，利用本文所提出的改进方法可以实现更快速地求解E[y0(ω)].由于某些实际的金融问题中存在着终端条件不确定的情况，因此这种针对非确定性倒向随机微分方程(0.2)的多水平蒙特卡罗解法在金融领域具有一定的实际应用价值.
　　本文分为六个章节.第一章是绪论部分，在本部分我们将粗略地介绍本论文所运用的方法.第二章我们将对蒙特卡罗方法进行详细介绍.第三章我们将介绍多水平蒙特卡罗方法.第四章的内容为倒向随机微分方程的数值解法，我们将重点介绍如何利用θ-格式来求解倒向随机微分方程.第五章我们将介绍非确定性倒向随机微分方程的多水平蒙特卡罗方法.对于带有随机变量ω的非确定性倒向随机微分方程，我们将利用多水平蒙特卡罗方法对其解法进行改进.第六章为数值实验结果及结论.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 引言

§1．2 预备知识

第二章 蒙特卡罗方法

§2．1 蒙特卡罗方法介绍

§2．2 蒙特卡罗方法性质分析

§2．3 蒙特卡罗方法实例

第三章 多水平MC方法

§3．1 多水平MC方法介绍

§3．2 多水平MC方法性质分析

§3．3 多水平MC方法实例

第四章 BSDE的数值解法

§4．1 BSDE数值解法综述

§4．2 求解BSDE的θ-格式

第五章 非确定性BSDE的多水平MC解法

§5．1 方法介绍

§5．2 误差阶与运算复杂度简析

第六章 数值结果与总结

参考文献

致谢