两区间二阶微分算子自伴域的辛几何刻画

摘要

本文主要从辛几何角度研究两区间二阶微分算子自伴域的描述.
　　微分算子是线性算子中最基本也是应用最广泛的一类无界可闭线性算子.其研究领域包括微分算子的亏指数、自伴扩张、谱分析等许多重要分支.微分算子定义域的选择是微分算子研究中的一个十分重要分支.在对称微分算式给定的前提下，对所研究的算子提出的具体要求最终体现在对定义域的限制上.
　　1986年，Everitt W. N.和Zettl A.提出了两区间理论，从最大算子域中选取两组向量，给出了两区间二阶微分算子自伴域的描述.2012年，索建青用实参数解刻画了两区间二阶微分算子自伴域.1999年，Everitt W. N.和Zettl A.将辛几何的方法应用于研究微分算子的自伴问题，并给出了对称微分算子的自共轭扩张与由算子定义域构造的复辛空间中完全Lagrangian子空间是-------对应的.
　　本文将用辛几何全新角度去描述两区间二阶微分算子自伴域.由最大算子域构造辛空间，引入辛形式，给出自伴边界条件的代数结构.由于二阶对称微分算子根据亏指数的不同分为极限点型与极限圆型，极限点型时亏指数为(1,1)，极限圆型时亏指数为(2,2).而在两区间上二阶微分算子的亏指数最小是1，最大是4，分别从亏指数的不同给出其相应的辛刻画.
　　首先，从最大算子域中取出满足一定条件的两组向量.根据亏指数的选择不同，分别给出了两区间二阶微分算子自伴域的辛几何刻画.
　　其次，对于微分方程用实参数解刻画两区间二阶微分算子自伴域的问题，在极限点型和极限圆型情形下分别给出了辛几何的描述以及自伴边界条件的分类.

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第 一 章 绪 论

1 .1 自共轭域的描述问题

1.2 辛几何刻画

1. 3 本文的主要结果和创新点

第二章基本概念与理论

2.1 辛几何的相关概念与理论

2.2 两区间上的相关概念与理论

第三章两区间二阶微分算子自共轭域的辛几何刻画

3.1 两区间二阶微分算子自共轭域的刻画

3.2 辛空间内积

3 .3 自伴域的辛几何刻画

第四章含有极限点型的两区间二阶微分算子自共轭域的辛几何刻画

4.1 两区间二阶微分算子自共轭域的刻画

4.2 辛空间内积

4 .3 自伴域的辛几何刻画

第五章实参数解描述两区间二阶微分算子自共轭域的辛几何刻画

5.1 实参数解刻画自共轭域

5.2 辛空间

5 .3 自伴域的辛几何刻画

第六章实参数解描述含有极限点型的两区间微分算子自共轭域的辛几何刻画

6.1 实参数解刻画自共轭域

6.2 辛空间

6 .3 自伴域的辛几何刻画

总结与展望

参考文献

致谢

在读期间取得的科研成果