几类非局部问题及分数阶模型的数值分析及快速计算方法研究

摘要

随着非局部微积分算子及分数阶微积分的快速发展，非局部问题的理论研究及应用得到广泛关注。而这些非局部模型的产生能够比较好的模拟这些非局部效应。更重要的是，局部模型可以在形式上作为非局部模型的特殊情况推导得出，因此，非局部模型可看作为局部模型的一种推广。非局部模型包含的非局部项一般由非局部向量微积分算子、分数阶导数、分数阶积分等组成。虽然非局部模型的发展已经比较久远，但是非局部向量微积分是近几年才提出的。目前，比较常见的非局部模型有非局部扩散模型、近场动力学模型、时间分数阶扩散模型、空间分数阶对流扩散模型、非局部及分数阶相场模型等等。如今，非局部理论已经广泛应用于连续力学、断裂力学、量子力学、物理学、材料学、经济学、图像处理等许多方面。 然而，由于非局部项的影响，导致我们在对非局部模型进行数值模拟时，产生的线性系统往往带有矩阵稠密的特点。例如，我们在使用有限元方法对近场动力学模型进行离散时，当近场动力学非局部影响域常数δ远大于剖分细度h时，得到的线性系统的系数矩阵将会是一个几乎稠密的矩阵，这就导致我们在求解矩阵方程时需要耗费巨大的计算量及存储量。分数阶模型进行数值离散时得到的线性系统也往往具有计算量及存储量的巨大需求的情况。这就要求我们提出快速求解机制，以应对在计算机内存及计算速度一定的条件下，更快更大规模地求解线性系统，以及时且准确地指导工业生产。计算速度方面存在的诸多挑战使得人们不得不考虑快速的求解机制。本文所研究的内容，就将着眼于这方面，致力于寻求合适的数值模拟方法，快速有效地求解数值格式产生的线性系统。我们所研究的方程主要为稳态的近场动力学模型、时间分数阶相关模型、分数阶相场模型，所采用的数值离散方法主要为有限元方法、有限差分方法。针对快速计算，所采用的方法主要基于快速傅里叶变换方法以降低计算量来快速求解矩阵向量乘。具体地: 第一章，我们简要介绍非局部向量微积分、时间分数阶相关模型、相场模型的定义、背景及发展，以方便后面具体模型的研究。 第二章，我们主要考虑稳态的一维近场动力学模型的数值模拟及快速求解。近场动力学模型是由美国Sandia国家实验室Silling教授在2000年提出的用于研究不连续长程力时提出的非局部模型[4]。目前，近场动力学模型被成功应用于不同材料和结构静力学与动力学模拟及断裂、破坏及失效分析。考虑近场动力学影响域常数δ带来的非局部特性，使得数值算法带来的巨大的计算量及存储量成为近场动力学模型数值算法的瓶颈。因此，我们提出了快速Galerkin及hp-Galerkin有限元方法以快速求解这一模型。首先，针对连续的近场动力学模型，我们使用一种快速的计算机制去计算Lagrange元分别为分片一次元、分片二次元、分片三次元的Galerkin方法产生的线性系统。这种快速计算的机制是基于快速傅里叶变换方法降低矩阵向量乘的计算量。通过计算量及存储量分析，快速算法将使得求解矩阵方程由所需的O(N3)的计算量降为O(Nlog2N)，同时，将存储量由O(N2)降为O(N)，其中N为空间剖分份数。其次，考虑到近场动力学模型以积分代替微分，因此允许模型的解存在间断点，这样模型便可以用来处理断裂问题。因此，针对含有间断点的近场动力学模型，我们首先给出快速的分片常数有限元方法，在此基础上，我们使用h-及-加密算法，我们提出了快速分片常数/分片一次Galerkin及分片常数/分片二次Galerkin方法。最后，我们给出数值算例验证我们快速算法的正确性及有效性。 第三章，我们考虑带有Caputo分数阶导数的时间分数阶常微及偏微分方程的数值离散格式及其导出的线性系统的快速算法。空间分数阶模型的快速算法一般利用系数矩阵的Toeplitz性质，使用快速傅里叶变换方法降低计算量及存储量。而时间分数阶方程导出的线性系统使用快速算法的难点在于，其系数矩阵虽为稀疏矩阵，但在求解过程中，求解新的时间层均需要所有旧层的值，这使得其整体的计算量及存储量同样花费巨大。更重要的是，由于系数矩阵并无Toeplitz性质，直接使用快速傅里叶变换的方法失效。因此，时间分数阶方程的快速算法实现发展并没有空间分数阶方程的快速算法那样完善。我们考虑不同的机制以求获取快速求解方法。首先，考虑一系列的有限差分方法求解时间分数阶方程初边值问题。由此导出的线性系统我们考虑相应的快速算法。这种快速算法是基于快速傅里叶变换实现。针对分数阶双边常微分方程的快速实现，快速算法使得求解的计算量由所需的O(N3)降为O(Nlog2N)，存储量由O(N2)降为O(N)，这里N为剖分份数。针对时间分数阶对流方程的快速差分方法，计算求解线性系统时，我们改变时空求解顺序，不按时间层求解，而用空间点顺序求解，这样的求解方式将稀疏的系数矩阵转变为Toeplitz满矩阵，而不用按照时间层存储。将计算量将O(N2M)降为O(MNlog2N)，存储量由O(NM)降为O(N)，这里N=τ-1，τ为时间剖分长度，M=h-1，h为空间剖分细度。针对经典的时间分数阶扩散模型，考虑使用经典的L1离散有限差分格式及初值不光滑时的有限元格式，我们考虑所有时间层的一次性求解，并且改变近似解求解顺序，将快速傅里叶变换成功应用于矩阵向量乘，将所需计算量由之前的O(MN2)降为O(MNlog2N)，而没有改变存储量。除此之外，我们考虑时间分数阶Cable方程的有限差分紧格式，给出格式的稳定性及收敛性分析，并针对格式导出的线性系统，构造并实现了快速算法。我们最后给出足够的算例证明理论分析的正确性。 第四章，我们考虑非局部相场模型的无条件能量稳定性格式，并考虑快速算法实现。相场模型最初是为了绕开凝固组织模拟中追踪液固界面的困难提出的，目前在数学、力学、材料学等领域均有快速发展，已经成功应用于处理多种情境下的不可压缩两相流等问题。最近，非局部相场模型如带空间非局部算子的Cahn-Hilliard模型[84]、空间分数阶Cahn-Hilliard模型[85]、时空分数阶Allen-Cahn模型[86]、时间分数阶Cahn-Hilliard模型[87，88]等等已经吸引了越来越多人的兴趣，并且已经应用到设计物理学、材料学、经济学、图像处理等很多方面。本章主要考虑带有一般非线性项的非局部Cahn-Hilliard方程的精确、有效的线性算法的构造，并严格地证明其半离散格式的无条件能量稳定性。我们构造和分析了线性的一阶、二阶（在时间方向上）标量辅助变量(scalar auxiliaryvariable:SAV)方法，建立了无条件的能量稳定格式。此外，考虑到求解非局部模型产生的线性系统的巨大计算工作和内存需求，我们分析了刚度矩阵的结构，并寻求一些有效的快速计算方法来减少计算工作量和内存需求。通过引入四个转换算子A1，A2，A3，A，我们可将线性系统的系数矩阵转换为block-Toeplitz-Toeplitz-block(BTTB)矩阵。于是，一个基于快速傅里叶变换的机制便可以快速求解带有BTTB型系数矩阵的新的线性系统。线性系统的整体计算量的花费将会是O(Nlog2N)，其中N为未知量的数量。而直接使用高斯消去法求解线性系统的计算量将会是O(N3)。除此之外，由于N×NBTTB矩阵的存储只需花费O(N)，而不做变换之前，存储系数矩阵需要花费的存储量将会是O(N2)。最后，我们针对各种二维模型进行了数值模拟的验证，证明了所提出格式的准确性和有效性。 第五章，我们考虑时间分数阶相场模型的无条件能量稳定性格式。我们主要研究两类经典的相场模型添加Caputo时间分数阶导数，即时间分数阶Cahn-Hilliard与时间分数阶Allen-Cahn模型。针对带有非线性项及分数阶时间项的这两类模型，我们主要考虑正确有效的线性算法，并严格证明模型的能量稳定性及半离散数值格式的能量稳定性。我们考虑相场模型的数值格式时，最重要的一点就是要保持格式的能量稳定，使得能量稳定性与时间空间离散时网格剖分的粗细无关。优先考虑能量稳定的特性的原因不仅仅是因为格式需要在长时间模拟求解时仍保持正确性，还使其能应用于更加复杂的特殊问题。而且，如果格式不满足能量耗散属性，可能使得在网格或者时间步不严格控制的情况下，导致错误的离散估计。然而，考虑到两相之间的边界很薄，针对带有非线性项的相场模型如Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型，要得到保持能量稳定的离散格式往往比较困难。需要特别指出的是，针对时间分数阶Cahn-Hilliard及时间分数阶Allen-Cahn模型，无论其模型的能量稳定性还是相关数值格式的能量稳定性，目前均少有文章给予证明。这其中主要的困难在于，由于分数阶导数的存在，会出现一系列的与时间有关的干扰项。通过考虑模型的等价形式以及重新考虑时间分数阶离散的数值微分格式的系数的特性，我们成功证明了这两类分数阶模型及其离散格式的无条件能量稳定性。处理非线性项的稳定子方法及最近新发展的SAV方法被成功应用到我们的无条件稳定格式中。最后，我们考虑二维及三维数值模拟来验证我们格式的正确性及有效性。

目录

声明

摘要

符号说明

插图索引

表格索引

第一章绪论

§1．1非局部微积分简介

§1．2时间分数阶模型简介

§1．3非局部相场模型研究简介

第二章一维稳态近场动力学模型的hp-Galerkin有限元离散及快速算法

§2．1数学模型

§2．2 一维近场动力学模型解的适定性分析

§2．3 Galerkin有限元离散

§2．3．1误差结果

§2．3．2 分片线性有限元格式

§2．3．3 分片二次有限元方法

§2．3．4 分片三次有限元方法

§2．4快速计算方法

§2．4．1 快速线性有限元方法

§2．4．2 快速分片二次有限元方法

§2．4．3 快速分片三次有限元方法

§2．5快速hp-Galerkin有限元法

§2．5．1 分片常数有限元离散

§2．5．2 两种hp-Galerkin有限元离散

§2．6数值算例

§2．7本章小结

第三章时间分数阶方程的快速算法实现

§3．1数学模型

§3．2双边分数阶常微分方程快速有限差分方法

§3．2．1有限差分格式的可解性

§3．2．2快速共轭梯度解法

§3．3分数阶对流方程快速有限差分法

§3．4时间分数阶扩散模型的有限差分快速算法

§3．5快速GMRES算法

§3．6基于光滑及非光滑初值的分数阶扩散模型的快速有限元法

§3．7分数阶Cable模型的高阶有限紧差分快速算法

§3．7．1 一维分数阶Cable模型的高阶有限差分紧格式

§3．7．2稳定性及收敛性分析

§3．7．3二维分数NCable模型有限差分紧格式

§3．8数值算例

§3．9本章小结

第四章非局部Cahn-Hilliard模型的无条件能量稳定格式及快速算法实现

§4．1模型简介

§4．2非局部Cahn-Hilliard模型及相关符号

§4．3非局部Cahn-Hilliard模型的半离散SAV格式

§4．4非局部Cahn-Hilliard模型的全离散有限差分SAV格式

§4．5快速求解方法

§4．6数值算例

§4．7本章小结

第五章分数阶相场模型的无条件能量稳定格式

§5．1模型简介

§5．2 时间分数阶相场模型及能量稳定性

§5．2．1 带有非线性项的时间分数阶Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型

§5．2．2时间分数阶Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型的能量稳定性

§5．3半离散格式

§5．3．1 Riemann-Liouville分数阶导数算子离散

§5．3．2 时间分数阶Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型半离散格式

§5．4半离散格式的能量稳定性分析

§5．4．1 稳定子方法能量稳定性分析

§5．4．2 SAV方法的无条件能量稳定分析

§5．5数值算例

§5．6本章小结

第六章总结

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成的工作

作者简介