带有限个转移条件的Sturm-Liouville问题的有限谱问题

摘要

Sturm-Liouville问题源于描述固体热传导的数学模型.近几年，带有转移条件的 Sturm-Liouville问题在数学物理领域已成为重要的研究课题[18,19,20].实际应用中往往出现的是区间内带有不连续条件的边界值问题,这类问题与不连续的物质性能有关系,比如热量、质量的转移,变化的物理转移问题,弦的振动问题,衍射问题[11,12]等.对应区域的解的结构问题可化为系数分段连续,在区间内点具有转移条件的二阶微分算子的特征值问题.
　　在经典 Sturm-Liouville理论中,正则或奇异自伴的 Sturm-Liouville问题的谱是趋于无穷大的.这个结果是建立在首项系数 p和权函数 w都是正的的假设之下. Atkinson在他的书[7]中有陈述：如果 Sturm-Liouville问题的系数满足 r=1p，q，w∈ L(J，C)，Sturm-Liouville问题的特征值可能有有限个.2001年，Kong，Wu，Zettl[21]建立了一系列对于任意的正整数n都恰有n个特征值的Sturm-Liouville问题. Kong，Volkmer，Zettl[22]把带有自伴边界的有限谱问题用矩阵表示了出来.这一系列结果表明了 Sturm-Liouville问题有有限谱的事实.那么，带有有限转移条件的Sturm-Liouville问题是否也会有有限谱?本文将会证明结论是正确的.
　　本文研究带有有限转移条件的 Sturm-Liouville问题的有限谱问题,通过深入的研究得到了一些新的深刻而有趣的成果.
　　本文分两章.
　　第一章中我们研究了带有两个转移条件的Sturm-Liouville问题-(py')'+qy=λwy，此处:y=y(t)，t∈J=(a,c1)∪(c1,c2)∪(c2，b),-∞0,|D1|=θ1>0，C2Y(c2-)+D2Y(c2+)=0，C2，D2∈ M2(R),|C2|=ρ2>0,|D2|=θ2>0,其中M2(R)表示实值2阶方阵,得到了带有两个转移条件的Sturm-Liouville问题的谱的个数,并建立了带有两个转移条件的恰有 nl个特征值的 Sturm-Liouville问题,同时还证实了这 nl个特征值在不自伴的情况下可位于复平面的任何位置,在自伴的情况下可位于实轴的任何位置.
　　第二章中我们考虑一般情况下的带有有限转移条件的Sturm-Liouville问题,-(py′)′+qy=λwy,这里y=y(t)，t∈ J=(a，c1)∪(c1,c2)∪…∪(ci-1，ci)∪(ci,b),-∞0,|Di|=θi>0,其中M2R表示实值2阶方阵,得到了带有n个转移条件的Sturm-Liouville问题谱的个数的表达式,并建立了带有n个转移条件的恰有有限个特征值的Sturm-Liouville问题,同时还证实了这有限个特征值在不自伴的情况下可位于复平面的任何位置,在自伴的情况下可位于实轴的任何位置.

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第一章 带有两个转移条件的 Sturm-Liouville 问题的有限谱问题

1.1 引言

1.2 Sturm-Liouville 问题的等价表示及预备定理

1.3 带两个转移条件的 Sturm-Liouville问题谱的有限性

1.4 带两个转移条件、有限个谱的 Sturm-Liouville问题的存在性

第二章 带有 n 个转移条件的Sturm-Liouville 问题的有限谱问题

2.1 引言

2.2 方程 (2.1.1) 的等价表示及预备定理

2.3 带有 n 个转移条件的 Sturm-Liouville 问题谱的有限性

2.4 带 n 个转移条件、有限个谱的 Sturm-Liouville 问题的存在性

参考文献

致谢