偏微分方程的孤立子解与群不变解及边值问题解

摘要

本文取得的主要结果属于理论性的,可概括如下:
　　 首先利用推广的Tanh-函数法以及在此基础上的拓展和形变映射法,获得了BBM方程的许多显式精确行波解,包括孤子解、复线孤子解、周期波解、Jacobi椭圆函数解、维尔斯特拉斯椭圆函数解等。
　　 其次介绍如何利用Lie变换群作用下偏微分方程的不变性来构造它的解。与常微分方程的情形相似,我们将看到,确定一个给定PDE所拥有的Lie点变换群的无穷小生成元,其算法可由它的不变性无穷小准则直接导出。利用Lie对称群的不变曲面可得到相似解,这样的解是通过求解约化方程得到的。约化方程所含未知变量个数比原方程少。本节就是用古典无穷小算法导出了由轴对称波方程的任意元和无穷小生成子的系数构成的超定线性偏微分方程组,即确定方程DE。其次借助符号计算机软件maple解方程组,求出了轴对称波方程的一些无穷小生成元,然后根据Lie第一基本定理求出了相对应的单参数Lie变换群。最后将所求得的无穷小生成元代入不变曲面条件,分别利用不变形式法和直接代入法求出轴对称波方程的群不变解。
　　 最后讨论如何利用Lie点变换群作用下的不变性求解PDEs的边值问题。如果PDE所拥有的单参数Lie点对称群同时也使边值问题的边界条件和领域不变,那么此边值问题的解也是不变解。因此,边值问题也可被构造性地约化为含更少的自变量的PDEs的边值问题。对于线性PDE,限制条件可放宽,不必要求边界条件不变。对应于同一特征函数展开的不变解进行叠加。可得边值问题的解,其中特征值是利用一个齐次线性PDE在其自变量的标度下的不变性得到的。另外,也将讨论多参数Lie点变换群作用下边值问题的不变性。我们利用上面给出的方法求出了Green函数的边值问题的不变解。

目录

文摘

英文文摘

引言

1 非线性偏微分方程的孤立子解

1.1 推广的Tanh-函数法求BBM方程孤立子解

1.2 BBM方程的复线孤子解

1.3 BBM方程的椭圆函数解

1.4 形变映射法求BBM方程的显示精确解

1.5 维尔斯特拉斯椭圆函数法求BBM方程的孤立子解

2 轴对称波方程的Lie点变换群及其群不变解

2.1 古典无穷小算法寻找轴对称波方程的无穷小生成元

2.2 轴对称波方程的单参数Lie点变换群

2.3 轴对称波方程的群不变解

2.4 本节小结

3 Green函数的边值问题解

3.1 k阶标量偏微分方程边值问题

3.2 Green函数的边值问题及其不变解

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢