量子场论中关联函数的泛函积分推导

摘要

由Feynman创立的量子力学路径积分形式是量子理论发展的一个重要里程碑[1，2].从那以后，这一理论形式几经完善和发展，可以用来解决很多以前用其它方法无法解决的问题[3，4，5，6，7，8，9].路径积分形式在量子场论中的推广是从文献[2]开始的，用场变量代替量子力学中的广义坐标，相应的路径积分变成了泛函积分.泛函积分形式是量子场论的另一种表述形式，利用泛函积分的方法可以直接从拉氏量出发，对场进行量子化，导出任意n点关联函数，给出费曼规则，而且能自始至终保持理论的Lorentz不变性.
　　需要注意的是，通常的路径积分都是关于空间坐标或场变量的，时间不属于路径积分变量而只起到序参量的作用.基于Fock和Schwinger提出的固有时坐标[10，11]，可以将时间和空间坐标在路径积分中统一。这种基于Fock和Schwinger提出的固有时坐标发展起来的路径积分形式称为Fock-Feynman-Schwinger表示(FFSR)[12，13].路径积分的FFSR表示现在已经得到了广泛的应用.在QED中，用FFSR表示代替B-S方程描述以束缚态形式出现的复合粒子系统可以得到更为精确的结果（目前只能在阶梯近似下对B-S方程进行求解）.此外，FFSR形式是规范不变的，可以很容易的推广到QCD，用来描述存在夸克胶子禁闭的强子系统。而非零温下的FFSR表示可以对温度相变中的非微扰效应进行系统的处理。
　　如上所述，路径积分（或泛函积分）在量子物理中具有十分重要的作用。熟悉量子场论的路径积分形式不仅可以加深我们对量子场论本身的理解，而且基于固有时坐标的路径积分FFSR表示也是当前处理强子态中非微扰效应的重要方法.在大多数量子场论教材中，通常采用正则量子化方法，利用Wick定理来计算关联函数、导出费曼规则，相对来说对路径积分方法涉及的比较少.本文将系统应用泛函积分的方法计算关联函数，导出费曼规则，并给出详细的推导过程.
　　我们以实标量场、电磁场、Dirac场、量子电动力学(QED)为例，利用泛函积分的方法对关联函数进行计算并导出了费曼规则.首先，我们简单介绍了泛函积分的概念，并以量子力学中一维点粒子系统为例，导出了量子力学中振幅的泛函积分表述形式.在此基础上，我们分别对实标量场、电磁场、和Dirac场进行了讨论，从关联函数的生成泛函出发，计算了2点、3点和4点关联函数，给出了相关的费曼规则.对于实标量场，我们讨论了自由场及包含φ4耦合的情况，对于电磁场和Dirac场，没有自耦合，只讨论了自由场的情况.最后，我们讨论了电磁场和Dirac场的相互作用——量子电动力学(QED)，计算了2点、3点和一些典型的4点关联函数，导出了电磁耦合的费曼规则。
　　对于含有相互作用的情况(实标量场、QED)，我们将相互作用项写成对自由场拉氏量中“源”求变分的形式，再利用微扰展开的方法通过对自由场关联函数生成泛函求变分得到有相互作用情况下的生成泛函。为了直观，我们在给出关联函数的表达式后画出了相应的费曼图，并对费曼图进行了简单的分析.通过费曼图可以看出，通过上述方法给出的关联函数包含很多不连接的部分。为此，我们定义了连接关联函数的生成泛函，计算了相应的连接的关联函数，这样关联函数中就只剩下了连接的部分.

目录

声明

摘要

1 引言

2 实标量场

2．1 实标量场中关联函数的生成泛函

2．2 实标量场的关联函数

2．2．1 自由场的关联函数

2．2．2 含相互作用场的关联函数

3 电磁场

3．1 电磁场中关联函数的生成泛函

3．2 电磁场的关联函数

4 Dirac场

4．1 反对易数

4．2 Dirac场中关联函数的生成泛函

4．3 Dirac场的关联函数

5 Dirac场与电磁场的相互作用—QED

5．1 QED中关联函数的生成泛函

5．2 QED中的关联函数

结论与展望

参考文献

致谢