束方法在泛函方程近似求解中的应用

摘要

束方法针对非光滑优化问题的处理有着极高的效率。针对现实问题的复杂性和多变性，将束方法的相关理论结果进行推广应用，往往具有很高的实际研究价值。对于泛函方程，无论是出现在多阶段决策过程的动态规划中的类型，还是在许多其他科学领域的研究对象，在各个方面的科学研究领域里面都起到了十分重要的作用。本文通过将束方法的思想与寻找一类特殊的泛函方程的解的一般迭代过程相结合，试图探索泛函方程的新解法，也是尝试非光滑优化束方法的一种新应用。文中假设泛函方程(1)中出现的函数u:S×D→ R+是一个非光滑的、下半连续的、正常凸函数，则我们可以对u(x，y)构造分段线性近似函数un(x，y），而且当适当的前提被提出后，我们以一种新方式对泛函方程的解进行近似。另外，本文的创新之处在于，我们要确保提出的迭代序列收敛的条件比目前的文献[1]中的要弱，同时，我们仅仅要求分段线性凸近似函数对于y是一致有界的。这使我们在具体的实施过程中减少很多不必要的限制。我们的主要成果扩展了文献[1]中的结论，此外还得到了一种研究泛函方程解的新方法。
　　本论文主要结构如下:首先，给出了论文中所需的一些基本的概念和结果。我们统一了一些符号，引用了相应定义和引理为后文的收敛性分析做准备。考虑到本文就是借由束方法的思想将一个更容易处理的函数序列来近似目标函数，接下来论文具体阐述了非光滑优化束方法的相关知识。其次，是本论文的主题部分，提出了对泛函方程(1)的近似求解的具体方法和措施，不仅给出了具体的收敛到方程(1)的唯一解的迭代近似序列{mn）n≥0，并且证明了迭代序列的收敛性。最后，我们将论文得到的结果与已有结论进行了比较，发现迭代序列{wn}n≥0的构造不仅依赖于之前的迭代序列wn-1，也依赖于近似函数un-1，而且我们放宽了加于u本身的很强的一致有界性条件。

目录

声明

摘要

引言

1 预备知识

1．1 基本假设和相关定义

1．2 泛函方程中几个重要引理

2 非光滑优化束方法

2．1 非光滑优化理论概述

2．2 求解非光滑优化问题的一些方法简介

2．3 非光滑优化问题的束方法

3 多阶段决策过程的动态规划中的泛函方程的近似求解

3．1 对泛函方程中非光滑函数的模型近似

3．2 分段线性近似模型的性质讨论

3．3 泛函方程解的存在性，唯一性和迭代近似

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢