分数阶线性时不变系统的降阶算法研究

摘要

分数阶微积分是数学中一门古老的研究领域。分数阶微积分算子是建立在传统意义上的微积分定义之上，考虑其物理意义建立起来的。而分数阶控制系统则是以分数阶微积分算子和分数阶微分方程理论为基础发展起来的。由于分数阶微分能够更加精确描述现实中诸如柔性、有记忆性的系统，而在近几年来备受重视，并一个控制理论与控制工程领域里新的研究方向。然而，分数阶微积分学理论由于其固有的复杂性，使得这种长时间以来只是某些数学家的研究对象，即使在今天飞速发展的计算机水平下，仍然不能获得分数阶控制系统的精确解，更不用说实际应用了。这主要由于大多数的分数阶控制系统本质上是无穷维系统，而目前还没有能够有效处理无穷维系统的设备。因而如何运用数学手段，使得原来复杂难以求解的模型在一定的限制下，简化为较简单的同时又能确保简化后的模型输出能逼近原来模型输出的有限维系统，即分数阶模型降阶问题便成为了很有意义的一项工作。
　　本文从工程实际的角度考虑，在前人相关相近理论的基础上，研究了最简单的一类分数阶控制系统，即线性时不变分数阶控制系统的模型降阶问题。具体地说有如下几个方面:
　　第一，实现了分数阶微积分算子的S-函数编辑，从而能够方便地对分数阶控制系统利用MATLAB/SIMULINK现有的强大功能进行动态仿真功能。
　　第二，扩展了现有的整数阶Padé降阶、连分式方法用于分数阶控制系统的降阶中。
　　第三，将连分式展开逼近方法和传统的Oustaloup逼近方法扩展到系统降阶理论。
　　第四，将基于寻优理论的系统降阶的方法扩展到分数阶次的降阶领域，使得分数阶次的降阶算法有一定的评价指标。这样，就可以评价某个降阶的方法的好坏，为降阶的方法发展提供一定的依据。
　　本文还给出了相应的例子，并使用MATLAB/SIMULINK软件验证所得结论。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 引言

1．2 分数阶控制理论前人成果

1．3 分数阶控制系统的实现的问题

1．4 本论文的主要工作

1．4．1 论文的主要工作及创新点

1．4．2 论文章节及主要内容

第2章 数学基础及理论知识

2．1 引言

2．2 特殊函数

2．2．1 Gamma函数

2．2．2 Beta函数

2．2．3 Mittag-Leffier函数

2．3 分数阶微积分的定义

2．3．1 Grünwald-Letnikov(G-L)分数阶微积分定义

2．3．2 Riemann-Liouville(RL)分数阶微积分定义

2．3．3 Caputo(C)分数阶微积分定义

2．3．4 其它分数阶微积分的定义

2．3．5 分数阶右积分

2．3．6 分数阶微积分定义间的关系

2．3．7 整数阶微积分的-陛质比较

2．4 分数阶微积分的积分变换

2．4．1 Laplace变换

2．4．2 Fourier变换

2．4．3 Mellin变换

2．5 本章小结

第3章 分数阶微分方程理论和分数阶系统

3．1 引言

3．2 分数阶微分方程

3．2．1 解的存在与唯一性

3．2．2 分数阶微分方程的求解

3．3 分数阶控制

3．3．1 分数阶控制系统概述

3．3．2 成比例阶控制系统

3．4 本章小结

第4章 分数阶控制系统的模型降阶的研究

4．1 引言

4．2 分数阶模型降阶

4．2．1 直接降阶方法

4．2．2 间接降阶方法

4．2．3 误差极小化降阶方法

4．3 本章小结

第5章 控制系统的仿真和降阶的对比

5．1 分数阶微积分模块的搭建

5．1．1 Oustaloup近似化方法

5．1．2 算子的S-函数实现

5．1．3 算法验证

5．2 分数阶控制系统的降阶算法的仿真验证

5．3 本章小结

第6章 总结与展望

6．1 工作总结

6．2 工作展望

参考文献

附录

致谢