某些三角剖分上样条函数空间的奇异性及插值适定性

摘要

样条函数作为函数逼近论的一个重要分支,已得到了迅速的发展和广泛的应用.样条函数,就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数.一元样条函数已经建立了非常完善的理论体系.八十年代起,样条函数的研究开始转向多元情形.虽然多元样条函数在思想上是一元样条函数的推广,但它比一元样条函数困难得多、复杂得多,这不仅仅是因为区域的多维性及多元函数区域上的复杂性,而且多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外,还紧密地依赖于剖分的几何性质.本文从多元样条函数的协调方程出发,运用罗钟铉教授提出的多项式环上素模中的生成基理论和方法,在Mathematica软件环境下做了一些研究工作,主要结果如下:1.详细讨论了多元样条函数空间S<'2><,4>(△<,MS>)的奇异性问题,得到了该空间奇异的代数型充分必要条件,并在此基础上给出了该空间的维数.2.对2-型三角剖分上多元样条函数空间S<'1><'2>(△<'(2)><,22>)的插值适定性问题进行了研究,给出了该空间插值适定结点组的选取方法,并在此基础上进一步提出了一种构造插值适定结点组的方法,给出了相应的例子.该方法应用于Morgan-Scott型三角剖分和1-型三角剖分上时得到了相应的结论.

目录

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独创性说明

第一章综述

1.1多元样条函数理论

1.1.1多元样条函数概述

1.1.2光滑余因子方法

1.1.3多元样条函数的表现定理

1.2 Grobner基理论

1.2.1定义和符号

1.2.2 Grobner基的计算

1.2.3 Grobner基的应用

1.3数学机械化简介

1.4本论文主要工作简介

第二章K[x]m中模的生成基方法

2.1引言

2.2序、约化定理及生成基

2.2.1基本概念

2.2.2一维情形

2.2.3二维情形

2.3模中生成基的充分必要条件及其算法

2.3.1模中生成基的充分必要条件

2.3.2模中生成基的算法

2.4模中生成基方法在多元样条函数中的应用

2.4.1两个重要引理

2.4.2两个重要公式

2.5总结

第三章Morgan-Scott三角剖分上样条函数空间的奇异性问题

3.1生成基方法的机械化实现

3.1.1概述

3.1.2 Mathematica软件简介及运用

3.1.3软件与算法结合运用过程

3.2样条函数空间S12(△MS)的奇异性条件

3.3样条函数空间S23(△(2)MS)的奇异性条件

3.3.1样条函数空间S23(△(2)MS)异的充分必要条件

3.3.2两个实用的奇异性判别条件

3.4样条函数空间S24(△MS)的奇异性条件

3.4.1样条函数空间S24(△MS)奇异的充分必要条件

3.4.2样条函数空间S24(△MS)奇异的两个特例

3.5样条函数空间S24(△MS)的维数

3.6总结

第四章多元样条函数空间的插值适定性问题

4.1基本概念

4.2样条函数空间S12(△MS)的插值适定性问题

4.3 2-型三角剖分上样条函数空间的插值适定性问题

4.3.1贯穿剖分定义及其维数公式

4.3.2样条函数空间S12(△(2)22)的插值适定性问题

4.4构造样条函数空间插值适定节点组的方法

4.4.1构造S12(△(2)22)空间插值适定结点组的方法

4.4.2构造S13(△(1)22)空间插值适定结点组的方法

4.5总结

参考文献

硕士期间发表论文情况

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