3维流形的融合积中不可压缩曲面的一个研究

摘要

本文是大连理工大学应用数学系基础数学专业3维流形理论方向的一篇硕士学位论文，主要的研究对象是由两个以环面为边界的3维流形作融合积所产生的3维流形中的不可压缩曲面。 3维流形理论是低维拓扑学的一个重要分支，从3维流形的组合结构出发，通过3维流形中的一些曲面(比如Heegaard曲面，不可压缩曲面，本质球面以及正则曲面等等)，把复杂的几何对象化解为若干个简单的对象进行研究，进而了解3维流形的拓扑性质和几何结构，这是研究3维流形的重要方法。 本文研究了由两个以环面为边界的3维流形作融合积所产生的3维流形中的不可压缩曲面，得到了一些良好的结果。文章首先简单介绍了3维流形理论中的一些基础概念，包括3维流形，不可约流形，素流形，3维流形的环面分解，Seifert流形，不可压缩曲面，3维流形的Heegaard分解，3维流形的可约的Heegaard分解，3维流形的弱可约的Heegaard分解等的定义，介绍了3维流形理论中的一些经典结果，包括回路定理，Dehn引理，Poincaré猜想，球定理等等。文章还介绍了不可压缩曲面上的边界曲面类的相关定义和结果，包括对于两个3维流形作融合积所产生的3维流形的亏格的一些估计。文章介绍了关于环面的映射类群的一些结果，包括环面到自身的自同胚类的分类的经典结果。关于3维流形中不可压缩曲面和小扭结的一些重要结果在本文中也有所提及。最后，文章给出了以环面作为边界的两个3维流形在作融合积时不产生新的不可压缩曲面的一个充分必要条件，并将这个结果与关于环面到自身的自同胚类的分类的结果相结合，证明了本文的一个核心结论，即存在无穷多个互不同胚的3维流形满足除了一个环面以外不含有其他的不可压缩曲面。

目录

文摘

英文文摘

声明

引 言

1基础知识

1.1 3维流形的定义

1.2 3维流形素分解的存在性和唯一性

1.3环面分解

1.4 Seifert流形中的不可压缩曲面

1.5几个重要的结果

1.6 Heegaard分解

2不可压缩曲面上的边界曲面类

2.1正则曲面和几乎正则曲面

2.2不具有强不可约Heegaard分解的流形

3 3维流形融合积的不可压缩曲面

3.1不可压缩曲面上的曲线类

3.2环面的映射类群

3.3关于3维流形中的不可压缩曲面的一些结果的介绍

3.4 3维流形中的不可压缩曲面

结 论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢