等几何分析方法和比例边界等几何分析方法的研究及其工程应用

摘要

本文基于等几何分析和比例边界有限元方法，研究开发了高精度、高效率的工程数值计算方法，将其应用于大坝-库水-地基系统的动力分析，并拓展至结构分析、电磁场分析和薄板弯曲和振动分析等工程问题的求解。等几何分析是近年来发展的一种新型的数值方法，旨在实现CAD和CAE的无缝统一。该方法将CAD中对几何形状进行精确描述的样条函数作为结构分析的形函数，可大大提高函数梯度场的计算精度，并在保持几何形状不变的前提下，方便地实现自适应的非通讯性细分操作。比例边界有限元方法是一种求解偏微分方程的半数值半解析解法，只需对求解区域的边界进行有限元离散，降低求解规模，但又无需基本解，特别适合于求解含有无限域、线弹性裂尖奇异应力场等工程问题。
　　本文将等几何分析方法和比例边界有限元方法相结合，提出了新型的比例边界等几何分析方法，相比于等几何分析或者比例边界有限元，比例边界等几何分析方法的计算精度和计算效率进一步提高。因此将这种方法推广应用于实际工程中，将大大提高求解精度和效率。另外，此方法能和等几何分析方法进行无缝连接，利用等几何分析和比例边界等几何分析的耦合方法，建立了大坝-库水-无限地基时域动力分析的计算模型，全面考虑了大坝-库水、大坝-无限地基动力相互作用对大坝地震响应的影响。本文还将等几何分析、比例边界有限元方法、比例边界等几何分析的应用领域进行拓展，并对这些方法在实际应用中所遇到的若干理论和数值问题进行了深入研究，并提出了有效的解决方法。主要内容包括：
　　⑴基于等几何分析和比例边界有限方法，提出了比例边界等几何分析方法。对弹性静、动力学以及电磁场问题分别推导了其离散方程和求解格式，并进行总结和比较。h-细分和p-细分过程仅需针对结构环向表面边界，在该方向上变量在相邻单元交界面处可达到较高的连续阶，而在径向解具有解析特性。相比于其他的数值方法，可达到更高的收敛速度。针对该方法，还研究了各类边界条件的施加策略。
　　⑵提出了大坝-库水-地基系统动力分析的等几何分析方法-比例边界等几何分析方法时域耦合计算模型，全面考虑了大坝-库水、大坝-无限地基动力相互作用的影响，并将其应用到高拱坝的地震动力分析中，为大坝的抗震安全评价提供重要参考依据。其中在大坝-库水动力相互作用分析中，考虑了库水可压缩性、库底淤沙对压力波的吸收、无限水域的辐射阻尼效应，并构造了压力-力转换矩阵，提高了流固耦合计算效率。在大坝-无限地基动力相互作用分析中，采用求解加速度脉冲响应函数的高效稳定算法，并构造了高效的加速度脉冲响应函数的离散策略和自适应策略，大大提高了相互作用力的计算精度和效率。利用该模型，分析了大坝-库水-地基动力相互作用对重力坝、拱坝系统地震响应的影响。
　　⑶针对比例边界有限元、等几何分析、比例边界等几何分析在新的应用领域拓展过程中遇到的若干理论和数值问题，提出了有效的处理方法。构造了新型的NURBS曲面的裁剪交点搜索算法及单元局部重构方式。相对于传统的以全域单元为搜索对象的搜索策略，新型的搜索策略则沿着裁剪曲线的切线方向逐一搜索，提高了搜索效率。提出了Lagrange乘子法解决重控制点问题和非齐次边值问题。发展了等几何分析在电磁场分析中的应用，对静电场问题和波导本征问题进行求解，显著地提高了计算效率和计算精度，对电容和波导等电子元件的设计具有重要参考意义。发展了等几何分析在薄板弯曲与振动分析中的应用，无需引入转角自由度便可满足C1连续的要求，显著地减少了计算自由度，并对稳定参数的取值进行了讨论。提出了相似中心由固定型扩展为移动型的处理方法，为比例边界有限元的进一步拓展，提供了有利条件。
　　⑷通过本论文的研究可看出，等几何分析方法、比例边界等几何分析方法在实际工程中具有广阔的应用前景，相关问题还需做更为广泛和深入的研究。

目录

声明

摘要

CONTENTS

图表目录

主要符号表

1 绪论

1．1 研究背景、目的和意义

1．2 等几何分析方法的研究概况

1．2．1 等几何分析方法基本概念

1．2．2 等几何分析方法研究现状

1．3 比例边界有限元方法的研究概况

1．3．1 比例边界有限元方法简介

1．3．2 比例边界有限元方法研究现状

1．4 大坝地震动力分析的研究概况

1．4．1 大坝-库水动力相互作用问题

1．4．2 大坝-地基动力相互作用问题

1．5 电磁场问题简介

1．6 本文主要研究工作及章节安排

2 基函数和几何造型的基本理论

2．1 Bemstein基函数及其构造的几何形体

2．2 NURBS基函数及其构造的几何形体

2．2．1 B-Spline基函数及其性质

2．2．2 NURBS基函数及其性质

2．2．3 NURBS几何形体

2．3 NURBS几何形体的反演与投影

2．3．1 NURBS曲线的反演与投影

2．3．2 NURBS曲面的反演与投影

2．3．3 NURBS实体的反演

2．4 NURBS几何形体的细分

2．4．1 NURBS几何形体的h-细分策略

2．4．2 NURBS几何形体的p-细分策略

2．4．3 NURBS几何形体的k-细分策略

2．5 NURBS几何形体的裁剪

2．6 NURBS几何形体的拼接

2．6 本章小结

3 等几何分析方法

3．1 基于单片造型的等几何分析方法

3．1．1 弹性力学基本方程及其弱形式

3．1．2 等几何离散

3．1．3 数值积分

3．1．4 整体分析

3．1．5 边界条件施加与方程求解

3．1．6 数据后处理

3．1．7 等几何分析的基本流程

3．1．8 算例分析

3．1．9 实例分析

3．2 基于裁剪造型的等几何分析方法

3．2．1 裁剪交点的搜索算法

3．2．2 裁剪单元类型的确定及重构

3．2．3 裁剪造型的等几何分析

3．2．4 算例分析

3．2．5 实例分析

3．3 本章小结

4 等几何分析方法在计算电磁学中的应用

4．1 计算电磁学基本方程

4．2 静电场问题

4．2．1 静电场问题的等几何分析

4．2．2 非齐次强制边界条件的处理

4．2．3 算例分析

4．3 波导本征问题

4．3．1 波导本征问题的等几何分析

4．3．2 重控制点问题的处理

4．3．3 算例分析

4．4 本章小结

5 基于等几何分析方法求解薄板弯曲与振动问题

5．1 薄板弯曲与振动问题

5．2 等几何分析方程

5．3 高阶导数的坐标转换

5．4 确定稳定性参数的下界

5．5 算例分析

5．5．1 矩形简支薄板的弯曲

5．5．2 矩形简支薄板的自由振动

5．6 本章小结

6 比例边界等几何分析方法

6．1 静力学问题的比例边界等几何分析方法

6．1．1 二维静力学问题

6．1．2 三维静力问题

6．1．3 静力问题的求解

6．1．4 齐次强制边界条件的施加

6．1．5 静力问题的求解流程

6．1．6 算例分析

6．2 动力学问题的比例边界等几何分析方法

6．2．1 频域动刚度方程

6．2．2 数值积分法

6．2．3 连分式方法

6．2．4 动力问题求解流程

6．2．5 算例分析

6．3 电磁场问题的比例边界等几何分析

6．3．1 静电场问题

6．3．2 波导本征问题

6．3．3 算例分析

6．4 本章小结

7 比例边界等几何分析方法中的边界条件及移动相似中心问题

7．1 非齐次侧面自然边界条件

7．2 非齐次外强制边界条件

7．2．1 拉格朗日乘子法

7．2．2 修正变分原理

7．2．3 罚函数方法

7．2．4 Nitsche方法

7．3 非开次侧面强制边界条件

7．4 各种边界条件的施加

7．5 移动相似中心问题

7．6 算例分析

7．6．1 偏心圆形环域

7．6．2 Timoshenko梁

7．7 本章小结

8 基于IGA／SBIGA求解流体-结构相互作用问题

8．1 基于SBIGA的坝前无限库水加速度脉冲响应函数

8．1．1 坝前库水流体动力学问题

8．1．2 坝前无限库水的SBIGA控制方程

8．1．3 坝前无限库水的坝面加速度脉冲响应函数

8．1．4 坝前无限库水的坝面加速度脉冲响应函数的特性

8．2 基于SBIGA的坝前无限库水动力相互作用力

8．2．1 压力-力转换矩阵

8．2．2 动力相互作用力

8．2．3 基于刚性坝面假定的坝面动水压力

8．3 基于IGA／SBIGA求解库水-结构动力相互作用分析

8．4 考虑无限库水影响的重力坝地震动力响应分析

8．4．1 考虑无限库水影响的Koyna大坝计算模型

8．4．2 考虑无限库水影响的Koyna大坝计算结果及分析

8．4．3 不同的库底反射系数对Koyna大坝计算结果的影响

8．5 本章小结

9 基于IGA／SBIGA求解结构-地基相互作用问题

9．1 基于SBIGA的无限地基时域动刚度

9．1．1 SBIGA频域控制方程

9．1．2 SBIGA时域控制方程

9．1．3 加速度单位脉冲响应函数矩阵的求解

9．1．4 加透度单位脉冲响应函数矩阵求解的自适应策略

9．2 基于SBIGA的无限地基动力相互作用力

9．3 基于IGA／SBIGA求解结构-地基动力相互作用分析

9．3．1 结构-地基系统

9．3．2 结构-地基动力相互作用分析

9．4 算例验证

9．4．1 模型及参数讨论

9．4．2 自适应策略

9．5 考虑无限地基影响的重力坝地震动力响应分析

9．5．1 重力坝及近场地基的IGA模型建立

9．5．2 考虑无限地基影响的Koyna大坝计算结果及分析

9．6 本章小结

10 基于IGA／SBIGA的大坝-地基-库水动力相互作用分析及工程应用

10．1 基于IGA／SB IGA的大坝-地基-库水系统的动力相互作用分析

10．1．1 库水-结构-地基系统

10．1．2 库水-结构-地基动力相互作用分析

10．2 考虑大坝-地基-库水动力相互作用的重力坝地震响应分析

10．3 考虑大坝-地基-库水动力相互作用的龙盘拱坝地震响应分析

10．3．1 龙盘拱坝体型参数

10．3．2 计算荷载

10．3．4 计算模型

10．3．5 纯动力计算结果

10．3．6 静动组合计算结果

10．3．7 结果分析

10．4 本章小结

结论与展望

创新点摘要

参考文献

附录A Fourier正反变换

附录B 刚体转换矩阵

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介