含裂纹和弱界面结构断裂分析中的辛方法

摘要

随着我国先进材料科学和制造工艺的发展，先进复合材料的制备与应用对国家发展有重大意义。同时具备力、电、磁、热、声、光等两种或多种特性的功能复合材料，诸如聚合物基材料、压电材料、电磁材料、光伏材料等被广泛应用于航空航天、建筑工业、电子工业以及医疗器械等领域。层合板结构是工程中的基本结构，该类结构是由多层单层板通过聚合物胶黏剂粘合在一起组成整体的结构板。由于其界面的连接特点，脱粘是该类结构的主要破坏模式。因此，研究粘弹性断裂问题以及力电磁弹耦合界面断裂问题具有重要的实际意义。
　　现有断裂问题的研究方法主要有解析法（复势函数法、积分变换法、权函数法等）和数值方法（有限单元法、边界单元法、无网格法等）。解析研究主要归结为高阶偏微分方程或积分方程的求解，在数学上受到求解体系（拉格朗日体系）的限制，它以提高控制方程的阶数为代价来减少变量个数，从而造成方程难以求解。在这种情况下，本博士论文将问题导入全新的哈密顿体系下进行求解，利用辛方法以增加基本变量为代价来降低微分方程阶数，利用高性能计算机来求解低阶微分方程。
　　本博士论文以复合材料的层间界面断裂问题为研究对象，以粘弹性断裂问题为突破口，采用辛方法对电磁弹性材料弱界面断裂问题展开研究，主要研究工作如下:
　　(1)提出一种求解粘弹性材料断裂问题的解析方法。首先，利用Laplace变换将粘弹性断裂问题转换为频域相关问题。然后，在频域内，通过拉格朗日函数和哈密顿函数，建立粘弹性材料断裂问题的哈密顿正则方程组和求解体系，将求解问题归结为辛本征值和辛本征解问题。最后，利用本征解之间的辛共轭正交关系以及展开定理，解析地表征出裂纹尖端的奇异性和域内的物理场，直接获得应力强度因子和J积分的解析表达式。数值结果验证了方法的收敛性和有效性，并且反映出粘弹性材料特有的应力松弛现象和蠕变现象，特别指出温度荷载作用对粘弹性断裂参数的影响。
　　(2)将弱界面模型引入到平面弹性断裂问题中，并采用辛方法进行求解。将复合材料层间粘结问题简化为弱连接问题，弹簧模型作为弱连接条件的数学模型。首先推导出两种弹性材料的辛本征解形式，然后由弱连接条件以及裂纹面条件确定两种本征解共用的辛本征值，从而全域内的辛本征解由以上两种材料所在区域的本征解组成，并且在全域内满足辛共轭正交关系。最后利用辛本征解的展开定理、外边界边界条件和辛共轭正交关系，可直接得到裂纹尖端处的奇异性，域内应力等分布和广义应力强度因子等解析表达式。数值结果表明，该方法与已有经典问题结果相吻合，说明本文方法是有效的，并且该方法具有较高的精度。
　　(3)将弱界面模型引入到电磁弹性材料反平面断裂问题中，并采用辛方法对多场耦合作用情况进行求解。首先，采用能量方法和勒让德变换，确定原变量（位移、电势和磁势）的对偶变量（应力、电位移、磁感应强度），从而将问题导入到哈密顿体系中。然后，以弹簧模型作为弱连接条件的数学模型，结合不同的力学、电学、磁学裂纹面条件，推导出弹簧模型连接的两区域内的辛本征解向量和共用的辛本征值，并验证全域内辛本征解之间存在辛共轭正交关系。最后，利用外边界条件和辛共轭正交关系，确定问题解的解析表达式以及断裂参数。数值结果表明，由于弱连接界面的存在，使得广义强度因子分为两类，且弱界面参数影响强度因子的大小，而裂纹面条件影响广义强度因子的存在与否。

目录

声明

摘要

主要符号表

1 绪论

1．1 研究背景与意义

1．2 国内外相关工作研究进展

1．2．1 弹性材料断裂问题

1．2．2 粘弹性材料断裂问题

1．2．3 压电材料断裂问题

1．2．4 电磁弹性材料断裂问题

1．3 哈密顿体系简介

1．3．1 辛几伺与哈密顿矩阵

1．3．2 应用力学中的哈密顿体系

1．4 本文主要研究内容

2 粘弹性材料平面断裂问题

2．1 粘弹性平面基本问题

2．2 粘弹性平面问题的哈密顿方程

2．3 粘弹性平面问题的本征值与本征解

2．3．1 零本征值及本征解

2．3．2 非零本征值及本征解

2．4 粘弹性平面问题的边界条件辛表述

2．5 粘弹性平面问题的断裂参数

2．6 数值算例

2．6．1 对比算例

2．6．2 粘弹性参数的影响

2．6．3 边界条件的影响

2．6．4 混合边界作用

2．7 本章小结

3 粘弹性材料反平面断裂问题

3．1 粘弹性反平面问题的基本方程

3．2 粘弹性反平面问题的哈密顿方程

3．3 粘弹性反平面问题的本征值本征解

3．3．1 零本征值及本征解

3．3．2 非零本征值及本征解

3．4 粘弹性反平面问题的边界条件辛表述

3．5 粘弹性反平面断裂参数

3．6 数值算例

3．6．1 集中力边界条件

3．6．2 粘弹性参数的影响

3．6．3 连续位移边界条件

3．6．4 混合边界作用

3．7 本章小结

4 热粘弹性材料平面断裂问题

4．1 热粘弹性平面问题的基本方程

4．2 热粘弹性平面问题的哈密顿方程

4．3 热粘弹性平面问题的本征值本征解

4．3．1 零本征值及本征解

4．3．2 非零本征值及本征解

4．4 热粘弹性平面问题的边界条件辛表述

4．5 热粘弹性平面问题的断裂参数

4．6 数值算例

4．6．1 对比算例

4．6．2 粘弹性参数的影响

4．6．3 温度荷载的影响

4．6．4 混合边界作用

4．7 本章小结

5 弹性材料平面弱连接断裂问题

5．1 弹性平面弱连接基本方程

5．2 弹性平面问题的哈密顿方程

5．3 弹性平面问题的本征值本征解

5．3．1 零本征值及本征解

5．3．2 非零本征值及本征解

5．4 弹性平面问题的边界条件辛表述

5．5 弹性平面弱连接问题的断裂参数

5．6 数值算例

5．6．1 弱连接奇异性

5．6．2 集中力荷载作用

5．6．3 混合边界作用

5．7 本章小结

6 压电材料反平面弱连接断裂问题

6．1 压电反平面弱连接基本问题

6．2 压电反平面问题的哈密顿方程

6．3 压电反平面问题的本征值本征解

6．3．1 零本征值及本征解

6．3．2 非零本征值及本征解

6．4 压电反平面问题的边界条件辛表述

6．5 压电反平面弱连接问题的断裂参数

6．6 数值算例

6．6．1 弱连接奇异性

6．6．2 集中荷载作用

6．6．3 电场荷载作用

6．6．4 集中荷载与电场混合作用

6．7 本章小结

7 电磁弹性材料反平面弱连接断裂问题

7．1 电磁弹性反平面弱连接基本方程

7．2 电磁弹性反平面问题的哈密顿方程

7．3 电磁弹性反平面问题的本征值本征解

7．3．1 零本征值及本征解

7．3．2 非零本征值及本征解

7．4 电磁弹性反平面问题的边界条件辛表述

7．5 电磁弹性反平面弱连接问题的断裂参数

7．6 数值算例

7．6．1 弱连接奇异性

7．6．2 集中荷载作用

7．6．3 电磁场荷载作用

7．8 本章小结

8 结论与展望

8．1 结论

8．2 创新点

8．3 展望

参考文献

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介