半黎曼卷积流形中的类空超曲面

摘要

由于半黎曼流形中类空超曲面在数学和物理方面的重要意义，一直被众多几何拓扑学家所关注.近年来，关于类空超曲面浸入到半黎曼卷积空间εR×f Mn(ε=±1)中的唯一性的研究吸引了越来越多的学者的关注并取得了丰硕的成果.
　　本文在众多学者的研究成果基础上，通过应用Omori-Yau极大法则和Stokes定理的推广来研究类空超曲面浸入到半黎曼卷积流形中的唯一性定理.拓展了卷积函数和高阶平均曲率的取值范围，得到如下主要研究结果:
　　首先，对超曲面的高阶平均曲率和高度函数的梯度范数，我们分别给出合适的取值条件，在此条件下，得到了在广义的Robertson-Walker时空（后面均简记为GRW时空）上的刚性定理.
　　其次，当外围空间为Lorentzian卷积流形-R×fMn时，本文对其上的卷积函数的导数f'为零和非零两种情况分别进行了讨论.当f'为零时，在其超曲面上应用推广的极大法则，研究当纤维Mn的截面曲率有下界时乘积流形-R×Mn的超曲面的唯一性;当f'非零时，应用极大法则和Stokes定理推论，得到了高阶平均曲率非零情况下超曲面的唯一性，并给出其在-R×tHn和-R×coshtSn等空间上的应用.
　　最后，当平均曲率非零时，应用经典的Omori-Yau极大法则得到了一定条件下黎曼卷积流形R× Mn上角度函数和卷积函数的导数之间的符号关系式，并推广至高阶平均曲率.应用此关系式和Stokes定理的推论，研究了黎曼卷积空间上高阶平均曲率和卷积函数的导数均非零的条件下整体图的唯一性.此外，还给出了此唯一性在（-π/2,π/2）×costHn和R×coshtHn等空间上的应用.

目录

声明

摘要

主要符号表

1 绪论

1．1 选题的研究背景和国内外研究概况

1．2 课题的研究现状

1．3 本文的主要内容和方法

2 半黎曼卷积流形及其上超曲面理论

2．1 半黎曼流形

2．2 Lorentzian卷积流形上的超曲面和算子

2．3 Riemannian卷积空间中的类空超曲面

3 广义Robertson-Walker时空中完备类空超曲面的唯一性

3．1 引言

3．2 GRW时空中的刚性结果

3．3 GRW时空-I×f Mn中的整体垂直图

4 Lorentzian卷积流形中完备类空超曲面的唯一性

4．1 引言

4．2 Lorentzian乘积流形-R×Mn中类空超曲面的唯一性

4．3 Lorentzian卷积流形-R×fMn中的唯一性定理

5 黎曼卷积流形上整体图的唯一性

5．1 引言

5．2 黎曼卷积空间中的符号关系和唯一性定理

5．3 延拓至高阶平均曲率

6 结论与展望

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

攻读博士学位期间发表学术论文情况

致谢

作者简介