变动维布朗运动在凸区域上首出时的渐近估计

摘要

概率中,布朗运动的首出时或者停时问题在数学的许多方面都有很重要的作用,例如Dirichlet问题的概率解.越来越多的数学家认识到首出时问题的重要性.在过去的几年里,许多数学家研究了变动维布朗运动的首出时问题,这些问题在物理,数学中都有很广泛的应用.而且在许多领域,例如金融,保险,信息论,随着时代的发展,我们面对的问题也越来越复杂,需要考虑的因素也随着时间的流逝越来越多.在这种情况下,经典的固定维度随机过程理论已经不再适用.考虑变动维度问题不论是在理论上还是实际应用中都有很大必要.我们的论文考虑了递增维布朗运动从无界凸区域逃逸概率的渐近估计,也就是在Li(2003)[1]中固定的d被替换成了一个函数d(s). 本文的第二部分是研究递增维布朗运动的小球概率问题,我们了解了Bessel函数的一些性质,并结合这些性质得到了有关Bessel函数的一些公式.结合这些性质以及公式,利用Li(2003)[1]中的一些结论以及高斯技术,得到了递增维布朗运动的小球概率估计及一些衍生问题的比较一般的结果. 在本文的第三部分,基于第二部分的内容,我们得到了有关递增维布朗运动从无界随机凸区域逃逸概率的渐近估计,首先给出了一般情况的估计,然后得到了在一族幂次及对数型区域中逃逸概率的上下界估计,其中幂次区域用来证明我们的上下界的渐近速度十分相近,最后,对于一些特殊的区域,我们证明了上下界的估计是渐近等价的.

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Abstract

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