光滑和非光滑方程组的LevenberG-Marquardt型算法的研究

摘要

Levenberg-Marquardt(LM)算法是一个非常经典并且有效的求解病态的非线性方程组的方法.从上世纪四十年代开始，LM算法已取得了很多重要的研究成果.但是，目前为止，LM算法的研究几乎都是关于光滑的非线性方程组，而非光滑方程组LM算法的研究还很少，因此，非光滑方程组的LM算法是一个值得研究的课题.在本文中，针对光滑和非光滑的情况，分别提出了参数自调整的LM算法，证明了它们的全局收敛性.
　　本论文的内容概括如下:
　　1.第一章主要介绍了LM算法及其研究现状，包括光滑和非光滑的LM算法的基本思想和研究进展．最后概括了本论文的主要研究工作.
　　2.在第二章中，首先讨论了局部误差界条件是比雅可比矩阵非奇异更弱的条件，然后给出了非光滑分析中的一些概念和性质以及信赖域方法的相关结论.
　　3.第三章的主要内容是针对光滑的非线性方程组，我们借鉴了信赖域方法的技巧，提出了一种改进的LM算法.在该算法中，参数根据实际减少量与预期减少量的比值进行更新.在水平有界的条件下，证明了算法的全局收敛性.进一步，通过改变算法中的下降方向，我们提出了一种修正的算法，它仍然具有全局收敛性的结论.
　　4.第四章首先依据半光滑牛顿法的现有结论，提出了参数自调整的LM算法来求解半光滑方程组，并证明了参数自调整的LM算法的收敛性，然后在BD正则性成立的条件下，得到了半光滑问题的局部超线性收敛速度和强半光滑问题的局部二阶收敛速度.
　　5.最后，我们最后通过数值实验说明了光滑方程组的LM算法的有效性，以及运用非光滑方程组的LM算法求解非线性互补问题并对其结果进行了比较和分析.

目录

声明

摘要

主要符号表

1 绪论

1．1 Levenberg-Marquardt算法的相关介绍

1．2光滑方程组的LM算法的研究现状

1．3非光滑方程组的LM算法的研究现状

1．4本论文的主要研究工作

2预备知识

2．1局部误差界条件

2．2信赖域方法的收敛性结论

2．3非光滑分析的相关概念和结论

3求解光滑的非线性方程组的LM算法

3．1 参数自调整的LM方法

3．2修正的参数自调整的LM算法

3．3小结

4求解半光滑方程组的LM算法

4．1半光滑LM算法的全局收敛性

4．2半光滑LM算法的局部收敛性

4．3 小结

5数值实验

5．1 光滑方程组的LM算法的数值结果

5．2非光滑方程组的LM算法的数值结果

5．3 小结

6结论与展望

6．1 结论

6．2创新点

6．3 展望

参考文献

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介