基于L1-范数和L2-范数的原始对偶-内点法研究

摘要

反问题中由数据观测值来估计模型参数的最大后验估计(MAP)常基于二次规划，相当于数据的最小二乘拟合和将L2-范数用于正则化项。这一估计的实现是简单的，常基于高斯牛顿法求解。由于观测值的噪音模型不同，以及重构图形的不同效果需求，作为一个可替换的选择，L1-范数用于反问题的数据项或正则项，或者同时用于两者中都是可取的，在本文中进行研究。同时L1-范数的使用也导致了目标函数的非光滑性，其实现相比二次算法要更加复杂，也更具有挑战性。L1-范数最小化的方法中，原始对偶-内点法(PD-IPM)被证明具有极高的效率。
　　本文通过理论推导得出独立选取L1-范数用在反问题数据项或正则项时的原始对偶-内点法，解决由L1-范数的不可微性造成的计算障碍，并且用电阻抗断层成像问题作为反问题的例子问题来验证所推导算法的实现是有效的，以及选取L2-范数或L1-范数用于反问题数据项、正则项时的不同效果。验证出，L2-范数拟合对于异常值是敏感的，且空间分布是光滑的，在非高斯噪音的情况下拟合效果并不好。作为对比，L1-范数用于反问题的数据项使得估计对于异常值是鲁棒的，在不剔除有较大误差数据的情况下，也能得到满意的结果，L1-范数用于正则项可以重构出较尖的空间图像。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题的研究背景及意义

1．2 EIT问题的研究进展

1．3 论文各章节内容安排

第2章 正则化理论及方法

2．1 正则化理论

2．2 几种正则化方法

2．2．1 Tikhonov正则化方法

2．2．2 全变差正则化方法

2．2．3 L1-范数拟合模型

2．3 本章小结

第3章 原始对偶-内点法

3．1 最小化范数和问题的对偶理论

3．2 基于L1-范数和L2-范数的原始对偶-内点结构

3．2．1 PD-IPM当nd=1，nm=2

3．2．2 PD-IPM当，nd=2，nm=1

3．2．3 PD-IPM当nd=1，nm=1

3．3 本章小结

第4章 数值实验

4．1 电阻抗成像问题

4．2 实验模拟

4．2．1 网格，综合数据，噪音及异常值的产生

4．2．2 图像重构

4．3 本章小结

第5章 结论与展望

5．1 结论

5．2 展望

参考文献

致谢

作者简介