太阳系n体模拟的流形改正方法及其应用

摘要

可靠的数值方法是非线性动力学研究的基础。由于传统数值算法引入人工耗散，而辛算法应用有限，因此寻找新的可靠的数值算法成为当前非线性动力学研究的重要课题。 本文基于Nacozy提出的流形改正思想以及积分不变关系，设计了三种流形改正方案用于保持太阳系n体问题中每个天体的运动缓变量，提高与之相关轨道根数的精度。 首先，分别构造了速度因子方法和坐标因子方法，用于保持系统中每一体的开普勒能量。也就是在哈密顿正则方程的数值解中，对速度分量或者坐标分量乘以一改正因子，其值在严格的开普勒能量关系中求出，下一步的计算都以改正后的值为初始值。通过在理想二体和日木土三体问题中数值验证，无论是速度因子方法还是坐标因子方法，都取得了与前人一致的结果，极大的提高了轨道半长径的精度。一般情况下，速度因子方法的求解要比坐标因子方法简单，故推荐在实际应用中采用速度因子方法。 其次，考虑同时对开普勒能量和拉普拉斯积分的改正，用于提高与之对应的轨道半长径和偏心率的精度。将开普勒能量和拉普拉斯积分对速度分量的偏导数组成一2×3矩阵，根据Nacozy流形改正原理，求出速度改正因子。数值实验表明，新方案取得了预期的效果，并与Fukushima的双因子法相比，其更适合于高偏心率情况。 再次，对太阳系n体问题中与每一体6个轨道根数直接或间接相关的开普勒能量、3个角动量分量、拉普拉斯积分z分量同时改正。与第二个工作相比，新方法考虑的积分量更多，而且对坐标和速度分量都要求导。通过数值实验验证，此方案与Fukushima的线性转换方法在对轨道根数精度的改进上效果一致，所有的轨道根数的精度均保持在双精度的量级。 最后，将速度因子改正方法应用到共形耦合标量场闭宇宙模型当中。一方面保持了能量面，另一方面，也为该模型非线性动力学性质演化提供了高精度的数值解，避免了数值误差带来的影响，使得结果更为真实可靠。通过混沌识别方法Poincare截面分析，表明宇宙学常数对宇宙非线性的演化有一定的影响。当宇宙学常数和自相互作用系数都小于1的时候，它们对系统非线性没有影响。当初始能量值低于关键值时，只要两个参数中的一个为1，混沌就会突然爆发。然而，当初始能量值高于关键值时，混沌区域没有增强的迹象。随着两参数值的逐渐增加，非线性效应会越来越弱。