基于数值微分的两种群食饵—捕食者模型的参数估计及其性质的研究

摘要

近来,数学模型的研究已经产生了多元化的发展,对具有随机性复杂系统的分析更是涉及多个领域,如生物、环境、经济、金融和材料加工工程等.较常见的方法是对复杂系统建立微分方程模型,结合计算机模拟技术,探求该动态系统的演化规律,进而对系统进行预测、组织和控制.
　　 当前,利用观测数据研究微分方程的反问题,即微分方程的参数估计,是国际上概率统计界的研究热点.现在许多学者在研究微分方程的参数估计时,均以食饵-捕食者模型为模拟对象,以分析估计方法的有效性.因此,很有必要对食饵-捕食者模型的参数估计进行更加深入和详细的探讨.
　　 本文给出了食饵-捕食者模型参数估计的一种新的两阶段估计法.第一阶段,基于有限差分原理,利用观测数据求解数值微分,第二阶段,将食饵-捕食者模型的参数估计问题转化为一个线性最小二乘问题.两阶段法大大减小了计算量,提高了计算速度.然后,本文对两阶段法进行了较详细的理论研究,给出了一般意义上微分方程参数估计的统计结构,并讨论了两阶段法的大样本性质.最后,对两种群食饵-捕食者模型的参数估计进行了数值模拟,结果表明,本文提出的两阶段法是有效的.
　　 本文由五章构成.第一章简述了问题产生的历史背景,文章所涉及到的预备知识;第二章首先从理论上给出了一般微分方程参数估计的统计结构,并详细讨论了非线性最小二乘估计,给出了基于有限差分数值微分的两阶段参数估计方法;第三章,讨论了两阶段参数估计量的一致性和渐进正态性等大样本性质;第四章,对两种群食饵-捕食者模型的参数估计进行了数值模拟,详细分析了三种常见有限差分数值微分法的参数估计,并与非线性最小二乘估计及文献中的有关结果进行对比,结果表明本文提出的方法是可行的;第五章,对全文作了总结,并给出了研究展望.