周期哈密顿系统在原点附近多解问题的研究

摘要

本文研究了二阶周期哈密顿系统在原点附近的多解问题，共分三章.
　　 在第一章中，我们主要介绍了哈密顿系统研究的历史背景与相关成果，阐述了寻找周期解时所遇到的困难以及克服这些困难的研究方法，由此引出我们将要研究的问题，并给出我在本文中的研究结果以及一些预备知识和主要引理.
　　 在第二章和第三章中，我们研究如下二阶周期哈密顿系统:｛ü+▽uH（t，u）=0，（∨）t∈R，u(0)=u(T)，(u)(0)=(u)(T)，T＞0，其中H(t，u)=1/2〈U(t)u，u〉+F(t,u).这里及下文的〈·，·〉与|·|分别为RN的标准内积及相应范数，U(·)为一连续的以T为周期的对称矩阵函数.
　　 在第二章中，我们给出了F(t，u)的具体形式和其它一些条件假设，其中F(t,u)=1/qb(t)|u|q+G(t, u).b∈C(R，R)是以T为周期的周期函数.根据b是否恒为常数，我们分为两种情形，在这两种情形下，通过对G提出一定的条件假设，我们证明了以上系统在原点附近存在无穷多解.
　　 在第三章中，我们在F(t，u)不必具有上述分解式且在原点附近满足较一般的条件假设下，同样得到了上述方程在原点附近存在无穷多解的结果.

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 哈密顿系统的历史背景

§1．2 主要研究工作

§1．3 预备知识

第二章 位势函数带次二次项的二阶哈密顿系统的多解存在性

§2．1 次二次项为变系数的情形

§2．1．1 主要结果

§2．1．2 相关引理及其证明

§2．1．3 定理的证明

§2．2 次二次项为常系数的情形

§2．2．1 主要结果

§2．2．2 相关引理及其证明

§2．2．3 定理的证明

第三章 具有一般位势函数的二阶哈密顿系统的多解存在性

§3．1 主要结果

§3．2 Genus的定义与变化的对称山路引理

§3．3 定理的证明

参考文献

致谢

硕士期间研究成果