两类非线性偏微分方程组正解的正则性,对称性和单调性

摘要

本文主要研究了如下两类含有分数次拉普拉斯算子的偏微分方程组:
　　 {（-△+id）α/2u=vq/|y|β，
　　 (-△+id)α/2v=w(r)/|y|β，in Rn
　　 (-△+ id)α/2w=up/|y|β和
　　 {（-△）α/2u+u=upvqw(r)/|y|β，
　　 （-△）α/2v+v=vpwqu(r)/|y|β，in Rn
　　 （-△）α/2w十w=wpuqv(r)/|y|β正解的正则性，径向对称性和单调性.
　　 本文共分四章.
　　 在第一章中，我们介绍了这两类偏微分方程组的研究背景和主要结果，以及在研究正解的正则性，对称性和单调性时所遇到的困难，并叙述克服困难的方法及主要的结果.
　　 在第二章中，我们研究了算子（-△+id)α/2和算子（-△）α/2+id的核的基本性质.其径向对称性，单调性及衰减性使得具有分数次微分算子的两类偏微分方程或方程组正解可能具有径向对称性，单调性和正则性.
　　 在第三章中，我们首先引入与算子（-△+id）α/2的核Gα相关的带双权的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，此不等式在证明方程组解的对称性时取代了微分方程中的极值原理，因此可以利用积分形式的移动平面法研究解的对称性，由具有分数次拉普拉斯算子的偏微分方程组与具有贝塞尔位势核的积分方程组解的等价性，通过论证积分方程组解的正则性，对称性和单调性，得到偏微分方程组解的相应性质.
　　 在第四章中，首先引入与算子（-△）α/2+id的核Kα相关的带双权的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，利用与第三章类似的方法证明具有分数次算子的偏微分方程组与积分方程组问题的等价性，然后研究积分方程组解的性质，从而得到偏微分方程解的性质.
　　 关于贝塞尔位势核下一类积分方程组解的对称性和单调性的文章已发表在《数学研究》2012年第45卷，第3期.

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 本文主要研究背景

§1．2 本文主要结果

第二章 Gα和Kα的性质

§2．1 Gα的性质

§2．2 Kα的性质

第三章 带有(—△+id)α/2的偏微分方程组正解的对称性和单调性

§3．1 主要定理

§3．2 定理3．1．1，定理3．1．2证明

§3．3 定理3．1．3证明

第四章 带有(—△)α/2+id的偏微分方程组正解的正则性、对称性及单调性

§4．1 主要定理

§4．2 定理证明

参考文献

致谢

硕士期间研究成果