关于一类具有较大围长的代数二部图的研究

摘要

代数二部图D（k，q）首先是由Lazebnik和Ustimenko于1995年提出，它是一类具有较大围长，q-正则并且边传递的代数二部图.由于其具有较大的围长，也就是最短环的长度比较大，因此在很多领域中都有着重要的应用，尤其广泛应用于极端图论，有限几何，编码理论和密码学等领域.
　　关于二部图D(k，q)有一个著名的猜想:
　　猜想A:当k为奇数且素数幂q≥4时，二部图D(k，q)的围长等于k+5.
　　在[1]中证明了当k为奇数并且k+5/2|(q-1)时猜想A是成立的，其中q为某个素数幂.进一步在[2]中证明了在另一种特定的情形下猜想A也是成立的，此时k为奇数，q=pm，k=2ps-5，其中p是一个素数，s，m均为正整数.本文证明了猜想A在更一般的情形下也是成立的.
　　本文主要通过将一般的组合数在有限域上进行推广，然后给出了推广的组合数的一些重要性质，并且利用这些性质对上述猜想A做了进一步的分析.主要内容如下:
　　首先介绍代数二部图D(k，q)的相关概念，国内外研究现状及其应用，之后介绍了一类与其同构的代数二部图λ（k，q）的构造以及λ（k，q）中路径的显式表达式，介绍了已知的一种特定情形下关于猜想A的证明.接着我们将普通的组合数在有限域上进行了推广，对于阶为h的元素b和非负整数k，s，我们定义了新的组合数θ(k，s):θ(k，s)=C([)s/h」,([)k/h」smodhΠj=1bk+j-1/bj-1.证明了组合数θ(k，s)的若干个性质，这些性质都可以看做是一般组合恒等式在有限域上的推广.利用这些性质，我们进一步证明了当q=pm，2h|(q-1)，k=2hps-5时猜想A也是成立的，其中p为素数，h为正整数.

目录

摘要

第一章 绪论

第二章 与D(k，q)同构的二部图λ(k，q)

2．1 二部图λ(k，q)的构造

2．2 二部图λ(k，q)中的路径及ρ(ω1，ω2，…，ωn)的定义

第三章 组合数在有限域上的推广

3．1 组合数θ(k，s)的定义

3．2 组合数θ(k，s)的性质

3．3 在更一般情形下代数二部图λ(k，q)的围长及猜想的证明

结束语

参考文献

致谢

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