几类一阶微分方程的反射函数与可积性等价性研究

摘要

研究微分系统x'=X(t，x)的解的性态，不仅推动着微分方程理论的发展，同时对研究客观世界中物体的运动规律也具有很大的实际应用价值.当微分系统为自治系统，对于它的解的性态的研究成果已有很多.而对于非自治系统的研究成果就相对有限了.我们知道，对于周期时变系统的研究，可以借助于Poincaré映射和Lyapunov变换[1-4]，但有时寻找这些变换是很困难的.
　　上世纪八十年代，Mironenko[5]创建了反射函数理论.利用反射函数，我们可以建立周期时变系统x'=X(t，x)的Poincaré映射，借助它能研究该系统的解的定性性态.我们称具有相同反射函数的两个微分系统类是等价的，而等价的周期系统的周期解的性态是相同的.所以当研究一类复杂的非自治微分系统解的性态时，只需研究与该系统等价的简单系统或自治系统解的性态即可.
　　Mironenko在[5-6]中研究了微分系统x'=X(t，x)(1)与x'=Y(t，x)(2)的等价性，得出(2)等价于(1)，当且仅当(2)可表示为x'=Y（t，x）+Fx-1R(t，x)-R（-t，F）.(3)这里F(t，x)为(1)的反射函数.但是对于一般微分系统要求出其反射函数是相当困难的.那如何在反射函数未知的情况下，判定(1)与(2)等价？于是Mironenko在[7]中给出，若△(t，x)满足△t+△xX(t，x)-Xx(t，x)△=0(4)时，x'=X(t,x)+α(t)△(t,x)(5)与(1)等价，这里α(t)为t的奇的纯量函数，由此并推出x'=X(t,x)+∑αt(t)△t(t,x)(6)也与(1)等价，这里αt(t)为奇的纯量函数，△t(t，x)为(4)的解.由此可看出，求出(4)的解△(t，x)即反射积分，对判定两个微分系统的等价性尤为重要.
　　Belskii在[26]中给出Riccati方程x'=a0(t)+a1(t)x+a2(t)x2和Abel方程x'=a0(t)+a1(t)x+a2(t)x2+a3(t)x3及一般多项式方程x'=n∑t=0at(t）x(t)的反射积分的结构形式，及这些方程具有这些反射积分的充分条件.
　　Veresovich[19]，Varenikova[25]研究了一个平面多项式微分系统{ x'=a1(t)x+ a2(t)y+a3(t)x2+a4(t)xy+a5(t)y2，y'=b1(t)x+b2(t)y+b3(t)x2+b4(t)xy+b5(t)y2与其线性部分{ x'=a1(t)x+a2(t)y，y'=b1(t)x+b2(t）y等价的判定准则.
　　在本文中，本人主要研究了几类一阶非自治有理分式型微分方程的反射积分及逆积分因子.通过它们建立了与这些方程等价的一阶微分方程类，利用逆积分因子研究了这些方程的可积性及其解的定性性态.其次还研究了两个非自治线性方程组的等价性，并给出了若干判定的准则.
　　在这篇文章的第三章中，本人研究了一次有理分式方程dy/dx=b0(x)+b1(x)y/a0(x)+a1(x)y=B(x,y)/A(x,y),(A,B)=1(7)具有各种类型的反射积分的充分条件，建立了与(7)等价的微分方程类.并利用这些反射积分讨论了微分系统{dx/dt=a0(x)+a1(x)y，dy/dt=b0(x)+b1(x)y(8)的逆积分因子、首次积分及其解的定性性态.
　　其次研究了二次有理分式方程 dy/dx=b0(x）+b1(x)y+b2(x）y2/a0(x)+a1(x)y+a2(x)y2=Q(x，y)/P(x,y),(P,Q)=1,(9)具有二次有理分式形式的反射积分的充分条件.建立了与(9)等价的微分方程类，并利用反射积分研究了微分系统{dx/dt=a0(x)+a1(x)y+a2(x)y2，dy/dt=b0(x)+b1(x)y+b2(x)y2的逆积分因子及可积性问题及其解的定性性态.
　　在第四章中，研究了两个非自治线性微分系统x'=A(t)x与x'=B(t)x等价性，并给出当它们等价时，其系数矩阵A(t)，B(t)所满足的必要条件，以及它们等价的若干判定准则.特别地，还讨论了x'=A(t)x与x'=ψ(t)Cx等价时，(这里ψ(t)为纯量函数C为常数矩阵），ψ(t)，C所具有的特征性质.

目录

摘要

第一章 引言

第二章 预备知识

§2．1 反射函数的定义及性质

§2．2 微分系统等价的定义及相关定理

§2．3 逆积分因子与反射积分的概念

第三章 有理分式方程的等价性与可积性

§3．1 一次有理分式方程的等价性与可积性

§3．2 二次有理分式方程的等价性与可积性

第四章 非自治微分系统的等价性

参考文献

致谢

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