登革热时空传播的影响因素及其模型的数学分析

摘要

登革热是世界上最具破坏性的媒介传染病之一，2014年世界卫生组织称其为“全球蔓延最快的虫媒传染病”.尽管当今社会医疗水平不断提高，卫生条件也不断改善，但全球各地每年的登革热疫情仍会造成数千万人感染、数万人死亡，给人类的健康带来了严重的威胁.由于登革热的感染机理较为复杂，医学上目前还没有绝对安全且有效的疫苗，因此为了预测、控制登革热等蚊媒传染病，研究它的传播机制已成为当前传染病学、生物数学等领域中的重要课题之一. 虽然蚊媒传染病数学模型的研究最早可追溯到英国的微生物学家、诺贝尔奖获得者Ross博士在1911年所建立的疟疾模型，但专门针对登革热所构建的数学模型可能始于上世纪六、七十年代.而近几十年来，根据登革热复杂的传播机理，各种不同的登革热模型又先后被构建并研究.这些成果不仅丰富了传染病动力学理论，还有助于人们从生物数学角度来理解登革热的传播过程，为有效地预防、控制登革热等蚊媒传染病提供了理论依据. 考虑到现有的登革热模型大多是由常微分方程所描述，且所涉及的外在因素也较少，所以本篇博士论文主要围绕医疗资源配置、感染人群的迁移、媒体报道等因素对登革热传播的影响而展开讨论的，具体安排如下: 第一章介绍了登革热的一些知识、已有的最新研究进展以及本篇论文的研究背景. 第二章研究了一类受医疗资源配置和自我防护影响的登革热模型.我们分别利用病床数指标和蚊帐使用率来代表资源配置情况以及自我保护能力，通过下一代感染算子的谱半径以及相关的特征值问题给出了基本再生数这一阈值的性质.利用该阈值，结合Lyapunov泛函、单调迭代方法、紧性理论等深入探讨了无病平衡点和染病平衡点的稳定性，分析出医疗资源配置的充足程度以及自我防护的功效对登革病毒传播的显著影响. 第三章将交错扩散引入到异质环境中的登革热反应-扩散模型中，用于描述人群和蚊群在扩散过程中的相互影响.我们关注了相应的强耦合椭圆系统的共存解问题.先通过谱分析、变分法等理论以及变量代换、构造上下解等方法提出了共存解存在与否的条件，然后将理论结果、数值模拟以及传染病学解释相结合，分析出基本再生数的大小以及交错扩散的程度对人群和蚊群各自所携带的登革病毒是否会共存具有重要的影响等结论. 第四章中，我们构建了一类具自由边界条件的登革热模型，并同时将媒体报道指标引入其中，旨在探讨感染人群的迁移能力，以及媒体报道的有效性等人类活动对登革热传播动力学的影响.我们先采用变量代换、Lp理论、压缩映像原理以及精确的先验估计等方法获得了全局古典解的存在性和唯一性，再通过半群理论、特征值问题、以及变分法给出了该模型与时空变量、媒体报道指标都有关的基本再生数——风险指标的解析式.借助风险指标，利用比较原理、最大模原理分析出登革病毒消退或蔓延的充分条件，以及蔓延发生时解的长期性态.最后将所得的理论结果赋于传染病学解释，进一步揭示了人类活动对登革热传播的影响. 第五章考虑了一类同时具非局部发生率和移动边界的登革热模型.我们将含有核函数积分形式的非线性接触率引入模型中，用来表示位于某一处的易感者与整个区域中携带病毒的蚊虫之间的传播过程.提出的风险指标，不仅与自由边界有关，而且含有非局部项，同时非局部项对基本再生数的影响也进行了讨论.在模型动力学的分析过程中，能量积分、比较原理、特征值问题等技巧也逐一被运用，探讨出了登革病毒能否被控制的各种条件.我们还利用传染病学解释进一步说明了自由边界条件和非局部项这两个因素对病毒扩散的复杂影响. 对于全文的工作，我们在第六章中进行了简要的总结，并对今后的研究工作也做了进一步的规划.

目录

摘要

常用符号说明

第一章绪论

1．1 登革热及其传播现状

1．2 国内外研究现状

1．3 本文相关的研究背景

1．3．1感染区域的扩张

1．3．2 随机扩散与交错扩散

1．3．3其他影响因素

1．4 本文研究的主要内容

第二章医疗资源和自我防护对登革热传播影响的建模与分析

2．1 病床数指标与蚊帐使用率

2．2 基本再生数以及特征值问题

2．3 无病平衡点的稳定性

2．4 染病平衡点的稳定性

2．5 数值模拟、本章小结及传染病学解释

第三章异质环境中具交错扩散的登革热模型的共存解

3．1 交错扩散形式的引入

3．2 基本再生数及其性质

3．3 共存解的存在性与不存在性

3．4 数值模拟、本章小结及传染病学解释

第四章登革热模型的风险指标以及人类活动对其传播的影响

4．1人类活动指标

4．2解的存在唯一性

4．3 时空风险指标及其性质

4．4登革病毒的消退

4．5登革病毒的扩散

4．6解的渐近形态

4．7 数值模拟、本章小结及传染病学解释

第五章含非局部项登革热模型的时空风险及传播动力学

5．1非局部发生率

5．2 解的存在唯一性和比较原理

5．3 基本再生数与风险指标

5．4病毒的消退

5．5病毒的扩散

5．6 数值模拟、本章小结及传染病学解释

第六章总结与展望

参考文献

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