邻域指派和对角线的秩

摘要

本文第一章对D空间以及D空间的一些推广空间进行了研究，主要得到以下结论：
　　 定理0.0.1设空间x=Uki=1Xt,其中Xi是强∑空间，k为某个自然数，则X是D空间．
　　 定理0.0.2设拓扑空间X是有限个δθ加细空间．{Xi：i=1，…，k}的并，则X是aD空间．
　　 定理0.0.3设空间X是离散完全的且是可数个Dually离散空间的并，则X是紧空间．
　　 定理0.0.1肯定回答了A.V.Arhangel'skii提出的一个公开问题：有限个Moore空间的并是否为D空间？
　　 在第二章中，我们通过研究对称邻域指派的内在性质，获得如下两个定理，解决了J.Nagagta提出的两个和对称邻域指派相关的公开问题：
　　 定理0.0.4设X为度量空间，则对任一对于X上的某个相容度量是一致的邻域指派{U(x)：x∈X}，一定存在X上点可数的对称邻域指派{V(x)：x∈X)，使得对每一x∈X，有y(x)∈U（x）的充要条件是x为强仿紧空间．
　　 定理0.0.5正则空间X是ortho紧Moore空间当且仅当X具有内核保持的对称邻域指派序列Un={Un(x)：x∈X}，n∈N，使得对每一x∈X，{Un(x)：n∈N}构成x的邻域基．
　　 在本文的第三章中，我们研究了对角线的秩问题，得到的主要结果有：
　　 定理0.0.6对每个k≥4（k∈w），存在可分，非次可度量化的次仿紧Tychonoff空间X，X的对角线的秩恰为k．
　　 定理0.0.7设X是具有K-in-countable基的正则星紧空间，其中k为某个自然数，则X可度量化．
　　 定理0.0.6证实了A.V.Arhangel'skii和R.Z.Buzyakova提出的有关对角线秩的一个猜想并回答了他们提出的两个有关公开问题。