基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用

摘要

无网格方法作为近十年来迅速兴起的一种数值分析方法,在构造形函数时不需要网格,因此在处理不连续、大变形、移动边界等问题时可以完全抛开网格重构,不仅可以保证计算的精度,而且可以减少计算难度。基于移动最小二乘近似(MLS)的无网格法有:无单元伽辽金法(EFG)、有限点法(FPM)、扩散单元法(DEM)、局部边界积分法(LBIE)、局部彼得洛夫一伽辽金无网格法(MLPG)、最小二乘配点无网格法(LSC)、加权最小二乘无网格法等。权函数的选取在MLS近似中具有重要的作用,对计算结果影响很大,它的选取一般应该满足4个条件:非负性、紧支性、单调递减性,光滑性。目前常见的权函数有:高斯型、指数型、样条型以及径向基函数等。作为一种指数型函数,正态分布密度函数满足通常的指数型函数所不能满足的归一性。由误差理论可知,对于正态分布数据,最小二乘估计具有最优一致无偏和方差最小的特性,而将正态分布密度函数作为权函数能否适合计算,实现上述最小二乘法的特性并且提高解的精度正是本文所要探讨的。本文中把基于正态分布密度函数的权函数称为正态权函数,首先验证了其所对应的MLS近似在多种无网格方法上的可行性,接着用其求解了线性、非线性Poisson方程,悬臂梁以及平面压电结构。本文还讨论了在采用不同权函数时,最小二乘配点无网格法的支撑域半径因子scale的最佳取值,并给出了正态权函数形状参数σ的最佳取值,同时给出了指数型、高斯型权函数的形状参数的最佳取值。