多维滤子法求解非线性互补问题

摘要

互补问题与数学规划问题、变分不等式以及广义方程组等问题都有着密切的联系，并涉及力学、工程、金融经济和交通等实际问题，有着广泛的应用及其理论研究价值.互补问题可以借助等价的优化问题得以求解，而信赖域方法则是目前求解优化问题较为稳健和有效的方法之一，过滤方法也因其求解优化问题所具有的良好数值计算效果而倍受重视.
　　 鉴于滤子法数值计算上的有效性和信赖域法的强适性，本文在信赖域算法基础上提出了一种利用多维滤子技术求解非线性互补问题的方法.我们利用NCP函数将一个非线性互补问题等价转化为一个带非负约束的优化问题.由于此约束优化问题的最优性条件等价于投影梯度等于零这样一个类似于无约束优化问题的一阶最优性条件，因此本文将用于无约束优化问题的多维滤子技术应用到了以上带非负约束的优化问题上，继而在过滤信赖域算法框架下获得原互补问题的解.
　　 新算法结合信赖域法和多维滤子技巧，其子问题始终相容，因而无需使用过滤法中经常用到的恢复算法.互补问题的特殊性表明子问题本身就是一个凸二次规划问题，子问题的求解也因此变得较为容易.特别的，非负约束条件的选择不仅使得信赖域子问题满足相容性，而且有效避免了在正则化假设不成立时稳定点有负分量的不利情况，从而在一定程度上促使算法所得迭代点向全局最优解不断靠拢.另外，文章通过对目标函数的光滑化处理使得算法在通常假设条件下具有了全局收敛性，相关数值实验也表明了算法的有效性.