有限链环上的编码

摘要

有限链环F2+uF2介于有限域F4与环Z4之间，具有二者某些好的性质，并且其上的编码易于解码及实现.有限链环上的编码已经有了大量的研究工作，Bonnecaze[12]，Dougherty[13]，Abualrub[23]等都得到了较好的研究结果.
　　 本文主要是对有限链环上的线性码、循环码、拟循环码进行了研究.
　　 对于线性码和循环码，在Bonnecaze[12]的研究基础上，我们补充并证明了F2+uF2的伽罗华扩张GR(R，r)的性质，线性码的对偶码的生成矩阵，线性码在Gray映射下的性质，循环码及其对偶码的性质、结构，循环码的Lee重量与对应的剩余码及扭码的Hamming距离之间的关系，自对偶循环码存在的充要条件，循环码的幂等元表示以及生成幂等元存在的充要条件.
　　 对于拟循环码，已有的拟循环码的研究工作是基于Grob(O)ner基理论研究拟循环码的生成矩阵，结果过于繁琐.我们运用模论的观点重新研究了拟循环码的结构与计数，将拟循环码看作是Sm的子模进行研究，其中S=R[x]/（xn-1）.通过对Sm及其子模的结构、零化理想的研究，我们得出长为mn的拟循环码C可写成一些不可约循环模的直和，C=t⊕i=1[(mi1⊕j=1 Saij(x))⊕(mi2⊕j=1 Subij(x))]，并且不可约循环模的个数由C惟一确定.相应地，研究得出了拟循环码计数及其对偶码的结构.

目录

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第一章 绪论

§1．1 经典的编码理论

§1．2 有限链环上的编码研究

§1．3 本文主要内容

第二章 有限链环上的线性码

§2．1 有限链环上的线性码

§2．2 有限链环的伽罗华扩张

第三章 有限链环上的循环码

§3．1 χn-1的分解

§3．2 有限链环上循环码的结构

§3．3 有限链环上循环码的幂等元表示

§3．4 例子

第四章 有限链环上的拟循环码

§4．1 有限链环上拟循环码的结构与计数

§4．2 有限链环上拟循环码的对偶码

§4．3 例子

第五章 结论

参考文献

攻读硕士期间公开发表论文

致谢