期权定价中的重点抽样蒙特卡洛模拟

摘要

在这篇论文里，我们研究了用于缩减金融衍生品定价过程中方差的重点抽样蒙特卡洛方法，这些衍生品都由高维高斯向量驱动。正如P.Glasserman论文中的重要结果所说明的那样，首先要采用测度变换，在测度变换中得到决定最优漂移系数的方程组，然后使得模拟中对应于新测度的方差达到最小。本文给出了最优漂移系数的存在性和唯一性的证明，并应用了有效的牛顿算法寻找这个漂移系数。我们通过几个期权定价问题说明了我们方法的有效性，这些期权包括：标的资产服从几何布朗运动的亚式期权，Heston模型，跨式期权和一篮子期权。另外，在此适用的分层抽样技术也被用来得到更大程度的方差缩减。这个方法的一个优点就是我们无需对收益函数的光滑性做任何要求，即便我们不知道收益函数的准确表达式：另外一个优点就是最优漂移系数是唯一的，这使得模拟中的方差真正地达到最小。
　　 值得一提的是，在多峰问题中，漂移重点抽样的方差缩减效果并不是很好。我们需要改进用于重点抽样的密度函数，比如我们可以使用混合正态密度，还可以使用ι分布密度，也可以考虑对正态密度进行尺度变换（引入第二个参数σ，即标准差）等等这些都是我们今后工作的方向。当然，如果原生资产服从Lévy程，我们同样也可以考虑Lévy过程下的漂移变换重点抽样，从而缩减蒙特卡洛模拟的方差。
　　 本文安排如下：本文第一章简要介绍Monte Carlo方法的背景知识。第二章介绍如何通过模拟产生样本路径，从而模拟期权的价值和方差。在第三章我们建立本文的模型并讨论了方法的可行性。在第四章我们对所建立的模型以及已有的有关模型进行实证分析。在最后一章，我们对本文进行总结并给出后继研究建议。

目录

声明

1 绪论

1.1 蒙特卡洛方法简介

1.2 蒙特卡洛方法在金融衍生产品定价中的应用

1.3 研究思路

1.4创新点

2 蒙特卡洛模拟

2.1 产生股票样本路径

2.1.1 布朗运动

2.1.2 布朗运动的模拟

2.1.3 几何布朗运动的模拟

2.2 亚式期权的价格计算

2.3 蒙特卡洛模拟的方差

2.4 方差缩减技术

3 重点抽样

3.1 金融及学术背景

3.2 高维情形下的蒙特卡洛模拟

3.3 关于优化重点抽样的己知研究成果

3.4 基于直接模拟的重点抽样

3.4.1 一维牛顿方法情形

3.4.2 上面算法的总结

3.5 关于我们方法的一些讨论

4 蒙特卡洛期权定价的数值例子

4.1 亚式期权

4.1.1 一些探讨

4.1.2 牛顿迭代所需的样本数量

4.2 Heston模型

4.3 跨式期权

4.4 一篮子期权

4.5 模拟路径数量

5 结论和建议

5.1 结论

5.2 研究限制

5.3 后续研究建议

参考文献

附录

附录.1 强大数定律

附录.2 中心极限定理

附录.3 Girsanov定理

附录.4 图2中几何布朗运动路径Mathematica程序

附录.5寻找最优漂移的牛顿迭代程序MATLAB程序

附录.6 带漂移重点抽样蒙特卡洛模拟MATLAB程序

致谢