含非局部算子的椭圆边值问题及相关问题解的存在性研究

摘要

本文应用变分方法和临界点理论研宄了含非局部算子的椭圆边值问题及相关问题解的存在性和多重性.
　　首先,在第二、三章中,我们在Rn中的有界光滑区域n上考虑如下的含非局部算子的边值问题:其中a(T):Q^R是可测函数,f(u),g(u):R^R是连续函数,并且非线性项f在0的附近或无穷远处有某振动行为.在第二章,我们研宄了当^=0及-Lku=(-A)su时分数阶Laplace算子边值问题,通过构造问题所对应的泛函空间的某子集序列使得问题对应泛函在该子集上的最小点是研宄问题的弱解的证明思路,建立了无穷多个解的存在结论.当^=0时,在第三章我们利用截断函数方法和Ricceri的广义变分原理证明了扰动问题(I)存在任意多个解.进一步,我们还将所获得结果推广到一般的含非局部算子的椭圆边值问题:
　　其次,我们在第四章中,研究如下含有非局部橢圆算子和两个参量的半变分不等式:其中QcRn(N>2s,sG(0,1))是一个具有光滑边界的有界区域,A和^是两个实参数,F(x,u),G(x,u):QxR^R是两个非光滑的位势函数.我们在问题(II)对应的泛函分别是强制和非强制的情形下,应用非光滑临界点理论,证明了当参数A充分大p足够小时,问题(II)至少存在两个非平凡解,并且我们还讨论了解的性质.
　　第五章中,我们在Rn中的无界光滑区域Q上考虑了下面一类半线性椭圆的半变分不等式解的存在性:其中PGLi(Q)变号,/mG广(Q),j:QxR^R是非光滑泛函.我们利用有界区域的逼近方法并结合多值映射的Ky Fan定理等非光滑分析方法,证明了问题(III)存在一个解.
　　最后,在第六章中我们研宄了如下的四阶两点边值问题:其中入0为参数,f:R^R是连续函数.首先,我们分别应用山路引理和Riccer的三临界点定理证明了问题(IV)至少存在两个非平凡解.其次,我们利用Riccer的广义变分原理证明了当f有某振动行为时,问题(IV)存在无穷多个解.进一步,我们将无穷多个解的存在性结果推广到更一般的扰动边值问题。

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第一章引言和预备知识

1 .1 研究的问题和背景

1 .2 研究问题的主要结果

1 .3 预备知识

第二章含振动非线性项的非局部椭圆边值问题无穷多解的存在性

2 .1 引言和主要结果

2 .2 预备工作

2 .3 原点附近振动的情形

2 .4 无穷远处振动的情形

第三章含扰动项的非局部椭圆边值问题任意多解的存在性

3 .1 引言和主要结果

3 .2 预备工作

3 . 3 定理3 .1和定理3 .2的证明

第四章含非局部椭圆算子半变分不等式多解的存在性

4 .1 引言和主要结果

4 .2 预备工作

4 .3 泛函强制的情形

4 .4 泛函非强制的情形

第五章一类无界区域上半线性椭圆半变分不等式解的存在性

5 .1 引吕和主要结果

5 .2 预备工作

第六章一类四阶两点边值问题多解的存在性

6 .1 引言和主要结果

6 .2 变分结构

6 .3 两个非平凡解的存在性

6 .4 无穷多解的存在性

有待继续探讨的问题

参考文献

攻读博士期间完成的论文

致谢