n!标准分解式指数的一些研究

摘要

若p<,1>，p<,2>，…为从小到大排列的所有素数．对于正整数n，令e<,pi>(n)为满足 p<'e<,pi><'(n)>＞<,i>|n和p<'e<,pi><'(n)+1>＞<,i>|n的非负整数． 在1980年，Erd6s和Graham提出了猜想：对所有正整数k，总存在无穷多个正整数n使得e<,p1>(n!)，e<,p2>(n!)，…，e<,pk>(n!)都是偶数． 在1997年，D．Berend证明了Erd6s和Graham的猜想．此后，陈永高和朱尧辰，J．W．Sander，陈永高，F．Luca和P．Stǎnicǎ都先后研究过该系列问题，并将Erdos和Graham猜想的结论在不同程度上进行了深化或推广． 在本论文中，作者就该系列问题，主要研究了n!的标准分解式中指数对于模m的一些问题，得到的主要结果现在阐述如下： 1．设p为素数，m为正整数．证明了对于任给的素数p和任给的整数 m，e<,p>(n!)对于模m而言是均匀分布的．其中m=2时的结果为J．W．Sander文中的结果，所得到的m=3时的结果已发表在Bull.Austral.Math．Soc．上．另外一个结果是本文得到了关于e<,p>(n!)对模p的渐进公式中更为精确的余项． 2．设p，q为素数，m为正整数．本文推广了J．W．Sander的一个结果，其结果已经发表在J．Number Theory上：对任意的模m，存在一个常数D(m)使得当ε，δ∈Z<,m>且p，q为满足max{p，q)≥D(m)的两个不同的素数时，存在无穷多个正整数n使得 e<,p>(n!)≡ε(mod m)，e<,q>(n!)≡δ(mod m).

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文摘

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详细中文摘要

Chapter1 Preface

1.1 Definitions and notations

1.2 Background and some related results

1.3 Main results

Chapter2 Well distribution of the exponents modulo m in the standard factorization of n!

2.1 Introduction

2.2 Main results

2.3 Lemmas

2.4 Proofs of main results

Chapter3 On the exponents modulo m in the standard factorization of n! with two distinct primes

3.1 Introduction

3.2 A main result

3.3 Lemmas

3.4 Proof of the main result

Bibliography

致谢