代数—微分方程组和代数—偏微分方程组的几种新算法

摘要

本文主要给出求解代数-微分方程组和代数-偏微分方程组的几种新的数值算法，其中包括：求解代数-微分方程组的两阶波形松弛方法，求解代数-线性偏微分方程组的Kansa方法、Hermite配置方法、复二次拟插值方法和求解代数-拟线性偏微分方程组的局部径向基函数方法。
　　20世纪末，Song研究了代数-微分方程组的波形松弛方法.为了使该方法适用于并行计算，将两阶波形松弛方法应用于求解代数-微分方程组的初值问题定义两阶波形松弛方法的外迭代为：
　　MAY(k+1)(t)+M1y(k+1)(t)=N1y(k)(t)+NAy(k)(t)+f(t)，其中A=MA-NA，B=M1-N1，而每次迭代中的y(k+1)(t)由基于分裂M1=M2-N2的内迭代得到，这样，利用θ方法，即可得到代数-微分方程组的离散化两阶波形松弛方法，进一步，当MA为Hermitian半正定的矩阵时，可得到具有P-正则分裂的两阶波形松弛方法的收敛性定理和比较定理。
　　考虑到代数-偏微分方程组的复杂性以及关于代数-偏微分方程组的数值方法较少，在第三章给出求解时间独立的代数-偏微分方程组的两类径向基函数方法：Kansa方法和Hermite配置方法。由数值实验，得到数值解对于不同形状参数c的敏感性分析。进一步，通过数值实例发现，方法中的配置点和形状参数c的可选性使得无网格方法应用于代数-偏微分方程组时优于隐式的Crank-Nicolson有限差分方法，特别是对指标为2的代数-偏微分方程组(指标跳跃的代数-偏微分方程组)，优势更明显。
　　为了更快找到最优的形状参数c，第四章主要应用复二次拟插值方法求解时间独立的代数-偏微分方程组，并进一步给出该方法的误差估计及形状参数c的敏感性分析-同时，利用选取恰当的配置点，在一定程度上解决了代数-偏微分方程组的指标跳跃问题。通过比较上述几种无网格方法配置矩阵的条件数，发现该方法的配置矩阵条件数较小。
　　尽管复二次拟差值方法的形状参数c便于选取，但是精度不高。为了提高精度，第五章主要应用径向基函数-有限差方法求解代数-拟线性偏微分方程组。由数值实例知，该方法不仅精度高而且在一定程度上可避免代数-偏微分方程组的指标跳跃带来的影响。另外，给出数值解对形状参数c的敏感性分析，并进一步利用该方法给出两个数学模型的数值解。数值模拟结果表明该方法在某些方面优于已知的算法，诸如比Kansa方法计算量小，比隐式的Crank-Nicolson有限差分方法精度高等。

目录

文摘

英文文摘

Chapter 1 Preface

I.1 Introduction

1.2 Preliminaries

1.3 Overview

Chapter 2 Two-Stage Waveform Relaxation Method for DAEs

2.1 Introduction

2.2 Two-stage waveform relaxation methods

2.3 Convergence analysis and comparison theorems

2.3.1 Definitions and lemmas

2.3.2 Main theorems

2.4 Numerical experiments

Chapter 3 Collocation and Radial Basis Functions Method for PDAEs

3.1 Methods with radial basis functions for PDAEs

3.1.1 ICN-Kansa method for PDAEs

3.1.2 ICN-HCM method for PDAEs

3.2 Numerical experiments

3.3 Summary

Chapter 4 Multiquadric Quasi-Interpolation Method for PDAEs

4.1 Introduction

4.2 Multiquadric quasi-interpolation method

4.3 Application to PDAEs

4.3.1 Multiquadric quasi-interpolation method LD in PDAEs

4.3.2 Multiquadric quasi-interpolation method LE in PDAEs

4.4 Numerical experiments

4.5 Summary

Chapter 5 Local RBF-Generated Finite Difference Method for Quasi-Linear PDAEs

5.1 RBF-FD formulation for derivative approximation

5.1.1 Standard RBF interpolation

5.1.2 RBF-FD formula

5.2 Application to quasi-linear PDAEs

5.3 Numerical experiments

5.4 Summary

Chapter 6 Conclusions and Future Work

6.1 Conclusions

6.2 Future work

References

Publications and Finished Papers

Acknowledgements